Exercice 1 — Cubisme radical

Sujet

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On dispose de cube sen bois que l'on peint complètement en rouge (les 6 faces). Ensuite, ces cubes sont découpés en petits cubes.

Partie I : Etude de cas particuliers.

1. On partage chaque côté d'un cube en 3 et on découpe comme indiqué ci-dessous:
   
   a) Quel est le nombre total de petits cubes ?
   b) On met tous ces cubes dans un sac et on tire un petit cube au hasard du sac, puis on compte le nombre de faces peintes en rouge.
   i. Quelles sont les valeurs possibles que peut prendre le nombre de faces peintes sur ce petit cube ?
   ii. Recopier et compléter le tableau suivant :

Nombre de faces peintes sur le petit cube				3
Probabilité de tirer un tel petit cube				\(8 / 27\)

iii. On remet le petit cube dans le sac, on en tire un nouveau, on relève le nombre de faces peintes, on remet le cube dans le sac et on recommence. Après un grand nombre de tirages, quel est le nombre moyen de faces peintes que l'on va espérer obtenir?
2) On prend un autre cube, on coupe chaque côté de ce cube en 4 et on découpe comme ci-dessous :

a) On met tous les petits cubes dans un sac, on tire au hasard un petit cube du sac, puis on compte le nombre de faces peintes en rouge. Recopier et compléter le tableau suivant :
b) On remet le petit cube dans le sac, on en tire un nouveau, on

Nombre de faces peintes sur le petit cube
Probabilité de tirer un tel petit cube

relève le nombre de faces peintes, on remet le cube dans le sac et on recommence. Après un grand nombre de tirages, quel est le nombre de faces peintes que l'on va espérer obtenir ?

Partie II: Etude du cas général.

On part d'un autre cube, on partage chaque côté de ce cube en n et on découpe. Après avoir tiré dans les conditions précédentes un grand nombre de petits cubes, quel est en fonction de \(n\) le nombre moyen de petits cubes que l'on peut espérer obtenir?

Exercice 2 : Un hexagone dans un carré
Série S

Un fabricant de coffres forts voulait recruter un apprenti. Pour pouvoir être retenu, ce candidat doit triompher d'une épreuve.
Cette épreuve consiste à fabriquer une clé remplissant les conditions suivantes :

• La clé est une plaque hexagonale,
  
  
• On doit pouvoir la loger « à plat» dans une cavité de forme carrée de côté c prévue à cet effet.
• La plaque doit être d'aire maximale.
• L'épaisseur importe peu (et n'intervient donc pas dans le problème, on la supposera égale à 5 mm pour fixer les idées).

L'objectif de cet exercice est d'aider cet apprenti à trouver les dimensions de l'hexagone.

1. Préambule.
   a) Expliquer pourquoi pour un hexagone donné, un déplacement à l'intérieur du carré ou une rotation ne change pas l'aire de cet hexagone.
   b) Que peut-on supposer, sans gêner la résolution du problème, pour le centre du carré et celui de l'hexagone?
   c) «Chercher le rayon de l'hexagone d'aire maximale» équivaut à « chercher le côté d'un certain triangle d'aire maximale». Justifier cette affirmation et décrire ce triangle. On peut s'aider d'une figure.
2. On suppose désormais que le centre de l'hexagone est confondu avec le centre du carré. Justifier avec soin l'affirmation suivante : « l'hexagone d'aire maximale doit avoir au moins un de ses sommets sur un côté du carré ».
3. On pourra travailler dans un repère orthonormé ( \(O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}\) ), O étant le centre du carré de côté c et les axes sont parallèles aux côtés du carré.
   a) Soit M un sommet de l'hexagone qui se trouve sur un des côtés du carré. Par symétrie, on peut considérer que \(M\) a pour coordonnées \(\left(\frac{c}{2}, y\right)\); y) avec \(y \geq 0\). Déterminer les coordonnées du point \(M\) 'image du point \(M\) par la rotation de centre 0 , d'angle \(60^{\circ}\) et de sens direct.
   b) Donner une condition sur y pour que \(M\) 'soit à l'intérieur du carré.
   c) Calculer le rayon de l'hexagone d'aire maximale en fonction de c.
   d) b) En prenant \(c=10 \mathrm{~cm}\), calculer le rayon à \(10^{-2}\) près puis faire une figure.