Olympiades · Académie Lyon · 2017 · Toutes séries
\[ \begin{aligned} & 53=2^{5}+2^{4}+2^{2}+2^{0} \\ & 53=\mathbf{1} \times 2^{5}+\mathbf{1} \times 2^{4}+\mathbf{0} \times 2^{3}+\mathbf{1} \times 2^{2}+\mathbf{0} \times 2^{1}+\mathbf{1} \times 2^{0} \end{aligned} \]
On dit que le nombre 53 s'écrit 110101 dans le système binaire (base 2 ) et on écrira : \(53=(110101)_{2}\)
Variables \(N\) est un nombre entier naturel
Entrée Saisir N
Traitement Afficher le reste de la division euclidienne de N par 2
Affecter à N le quotient de la division euclidienne de N par 2
Tant Que N> 0
Afficher le reste de la division euclidienne de N par 2
Affecter à N le quotient de la division euclidienne de N par 2
Fin de Tant Que
Fin
3a) Préciser quels nombres sont affichés lorsque l'on exécute cet algorithme avec \(\mathrm{N}=6\) puis \(\mathrm{N}=53\).
3b) Interpréter le résultat obtenu précédemment dans le contexte de l'exercice.
4) Démontrer que \(2^{n}-1=\underbrace{(1111 \ldots \ldots 1)_{2}}_{n \text { fois }}\)
L'écriture binaire de 135 est ( 10000111\()_{2}\).
2. Le nombre dont la représentation en base deux est \((101011)_{2}\) est :
\(1 \times 2^{0}+1 \times 2^{1}+0 \times 2^{2}+1 \times 2^{3}+0 \times 2^{4}+1 \times 2^{5}=1+2+8+32=43\).
2) Déterminer à quel nombre correspond \((101011)_{2}\).
3) On propose l'algorithme ci-dessous en langage naturel :
Variables N est un nombre entier naturel
Entrée Saisir N
Traitement Afficher le reste de la division euclidienne de \(N\) par 2
Affecter à N le quotient de la division euclidienne de N par 2
Tant Que N> 0
Afficher le reste de la division euclidienne de N par 2
Affecter à N le quotient de la division euclidienne de N par 2
Fin de Tant Que
Fin
3a) Préciser quels nombres sont affichés lorsque l'on exécute cet algorithme avec \(\mathrm{N}=6\) puis \(\mathrm{N}=53\).
3b) Interpréter le résultat obtenu précédemment dans le contexte de l'exercice.
4) Démontrer que \(2^{n}-1=\underbrace{(1111 \ldots \ldots 1)_{2}}_{n \text { fois }}\)
5) Application : codage RVB
Une image numérique est une image acquise, créée, traitée et stockée en langage binaire. Un pixel est le plus petit élément constitutif de l'image. On associe à chaque pixel une série de bits. Un octet correspond à 8 chiffres binaires appelés chacun bit.
Il existe plusieurs systèmes de codage des couleurs dont le plus utilisé est le système RVB « 24 bits » (rouge, vert, bleu). La superposition de ces trois couleurs permet de recréer toutes les autres couleurs. Chaque couleur rouge, vert et bleu est codée sur 8 bits c'est-à-dire par un octet en codage binaire.
Un pixel est donc codé par 3 octets.
Par exemple: 100110110000110100011101 (1 pixel)
Rouge vert bleu
Combien y a-t-il de couleurs possibles pour afficher une image numérique RVB sur un pixel ?