Exercice 3 — Jour d'élections — Olympiades 2017 Limoges

Sujet

Aujourd'hui, le professeur principal organise l'élection des deux délégués pour les 28 élèves de la classe. Pris d'un doute, il demande aux élèves le type de scrutin qu'ils ont l'habitude d'utiliser. Trois méthodes apparaissent qui seront étudiées dans l'exercice.

Pour simplifier, on ne tiendra pas compte de l'existence de suppléants.
Méthode 1 : une élection à deux tours avec deux noms pas bulletin.

Au premier tour : on inscrit deux noms sur chaque bulletin.
Si 1 ou 2 candidats ont la majorité absolue (c'est-à-dire au moins 15 voix) alors ils sont élus.
Si 3 candidats ont la majorité absolue alors les candidats arrivés en tête sont élus.
Au deuxième tour (si nécessaire) :
Si aucun candidat n'a été élu au premier tour, on inscrit 2 noms sur chaque bulletin. Les deux candidats ayant le plus de voix sont élus.
Si un candidat a été élu au premier tour, on inscrit 1 nom sur chaque bulletin. Le candidat ayant le plus de voix est élu.
Méthode 2 : Une élection à Deux tours avec un nom par bulletin.
Au premier tour : sur chaque bulletin on inscrit un nom. Si un candidat a la majorité absolue, il est élu.
Au deuxième tour : sur chaque bulletin, on inscrit un nom.
Si aucun candidat n'a été élu au premier tour, les deux candidats ayant le plus de voix sont élus.
Si un candidat a été élu au premier tour, le candidat ayant le plus de voix est élu.

Méthode 3 : Deux élections à un tour avec un nom par bulletin.

Chacun des deux délégués est choisi I'un après l'autre par une élection à scrutin uninominal à un tour.
Pour chaque élection, le candidat ayant le plus de voix (majorité relative) est élu.
Le candidat élu à la première élection ne se représente pas à la deuxième élection.

Dans la classe, il y a trois candidats : Xavier (X), Yves (Y) et Zoé (Z). Une enquête a permis de déterminer les préférences des élèves :

Préférence (par ordre décroissant)	Nombre d'élèves
\(X-Y-Z\)	6
\(X-Z-Y\)	9
\(Y-X-Z\)	3
\(Y-Z-X\)	6
\(Z-X-Y\)	2
\(Z-Y-X\)	2

Cela signifie par exemple que 7 élèves préfèrent dans l'ordre Yves, puis Zoé et en dernier Xavier On suppose que les élèves votent toujours selon leur préférence.

Vérifier qu'avec la méthode 1, Yves a 17 voix au premier tour.

Avec cette méthode, quels sont les candidats qui sont élus.
2. Vérifier qu'avec la méthode, Xavier est élu dès le premier tour et Yves au second tour.

Préciser le nombre de voix obtenues par chaque candidat à chaque tour.
3. Vérifier qu'avec la méthode 3 , Xavier est élu lors de la première élection, Yves lors de la seconde élection. Préciser le nombre de voix obtenues par chaque candidat à chaque élection.