Exercice 2 — Que d'eau !

Sujet

Série S

Rappel : le volume V d'une sphère de rayon r est : \(\mathrm{V}=\frac{4}{3} \pi r^{3}\).

Un récipient cylindrique de rayon 1dm contient initialement de l'eau

jusqu'à une hauteur e (en dm).

On place une bille sphérique dans ce récipient, ce qui modifie la hauteur de l'eau, et on cherche à savoir si la bille dépasse de l'eau (figure de gauche) ou pas (figure de droite).

1. Dans cette première question, on suppose que la hauteur de l'eau initiale est \(\mathrm{e}=0,9 \mathrm{dm}\).
   a) On place une bille de rayon \(\mathrm{r}=0,3 \mathrm{dm}\) dans le récipient.

La bille dépasse-t-elle l'eau ? Calculer la hauteur de l'eau dans le cylindre.
b) On place une bille de rayon r dans le récipient. Dans chacun des cas suivants, déterminer si la bille dépasse de l'eau :

\[ \mathrm{R}=0,5 \mathrm{dm}, \quad \mathrm{r}=0,7 \mathrm{dm} \quad \text { et } \quad \mathrm{r}=0,9 \mathrm{dm} . \]

1. Dans cette question, on note e la hauteur d'eau initiale, et h la hauteur de l'eau après avoir placé une bille de rayon \(r\).
   a) En supposant que la bille ne dépasse pas, exprimer h en fonction de e et r.
   b) En déduire que la bille ne dépasse pas si et seulement si e \(+\frac{4}{3} \pi r^{3} \geq 2 r\).
2. Dans cette question, on suppose de nouveau que \(\mathrm{e}=0,9 \mathrm{dm}\).

Pour quelles valeurs de son rayon r la bille dépasse-t-elle de l'eau?
4. Dans cette question, on suppose que la hauteur d'eau initiale est \(\mathrm{e}=1 \mathrm{dm}\).

M ontrer que quel que soit le rayon de la bille placée dans l'eau, elle ne dépassera pas.
5. Quelle est la plus petite hauteur d'eau initiale pour laquelle on est sûr que la bille ne dépassera pas, quel que soit son rayon ? Détailler la méthode utilisée.