Olympiades · Académie Limoges · 2017 · Toutes séries
On considère la fonction de Syracuse, notée f, définie pour tout entier naturel n par :
Par exemple \(\mathrm{f}(10)=\frac{10}{2}=5\) car 10 est pair, \(\mathrm{f}(11)=3 \times 11+1=34\) car 11 est impair.
Partant d'un entier \(N\) appelé graine, on calcule les images successives de cet entier par la fonction \(f\).
Par exemple, en prenant 13 pour graine, on obtient successivement :
\[ 13 \rightarrow 40 \rightarrow 20 \rightarrow 10 \rightarrow 5 \rightarrow 16 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1 \ldots \]
1 Que se passe-t-il après le 1 ?
Dans la suite de l'énoncé, on arrête obligatoirement le processus dès que 1 est atteint.
Chaque étape de calcul est alors symbolisée par la lettre A ou B ; suivant que c'est le cas A ou le cas B qui est utilisé.
La suite de lettres obtenue est le mot de la grtaine. Le mot de 13 est donc BAAABAAAA.
2. Donner le mot de la graine 12.
3. Proposer une graine dont le mot commence par ABA.
Proposer une graine dont le mor commence par BAB.
4. Proposer une graine dont le mort commence par AAAAAA.
5. Justifier que dans chaque mot de toute graine, chaque B est suivi d'un A.
6. Répétition de BA : ça monte !
a) Justifier que si un mot commence par BA, le nombre obtenu après ces deux étapes est supérieur à la graine.
b) Soit m un entier naturel non nul. On choisit la graine \(\mathrm{N}=2 \mathrm{~m}-1\).
Justifier que les deux premières lettres du mot sont BA.
Quel est le nombre obtenu après ces deux étapes ?
c) Proposer une graine dont le mot commence par BABABABA.
d) Soit p un entier naturel non nul. On choisit la graine \(\mathrm{N}=2^{\mathrm{p}}-1\).
Par combien de répétitions de BA commence le mot de N ?
Quelle est alors la lettre suivante?
7. Répétition de BAA : ça descend !
a) Montrer que si un mot commence par BAA, le nombre obtenu après ces trois étapes est inférieur à la graine.
b) Soit m un entier naturel non nul. On choisit la graine \(\mathrm{N}=4 \mathrm{~m}+1\).
Justifier que les trois premières lettres du mot sont BAA.
Quel est le nombre obtenu après ces trois étapes ?
c) Proposer une graine dont le mot commence par BAABAABAABAA.
d) Proposer une graine dont le mot commence par la répétition de \(n\) fois les lettres BAA.
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