Exercice 2 — PENTAGONE.........RÉGULIER ?

Sujet

Quelques définitions :

• Un polygone est régulier lorsque ses côtés sont tous de même longueur et ses angles tous égaux.
• Un polygone est simple lorsque deux côtés consécutifs ont un seul point commun (sommet) et deux côtés non consécutifs n'en ont aucun.
• Un polygone est convexe lorsqu'il est simple et tous ses angles sont inférieurs à 180 degrés.

Préliminaire 1 : « Angles »
Justifier que la somme des angles d'un polygone convexe à \(n\) côtés vaut \((n-2) \times 180\) degrés, \(n\) étant un entier naturel quelconque supérieur ou égal à trois.
Préliminaire 2 : « Polygones»
On considère trois propriétés concernant les polygones :
\(\left(P_{1}\right)\) : «Le polygone a ses côtés égaux»
\(\left(P_{2}\right)\) : «Le polygone a ses angles égaux»
\(\left(P_{3}\right)\) : «Le polygone est régulier »
a) Dans le cas d'un quadrilatère (polygone à 4 côtés) convexe :

1. Citer les quadrilatères ayant la propriété ( \(P_{1}\) ).
2. Citer les quadrilatères ayant la propriété ( \(\mathrm{P}_{2}\) ).
3. Citer les quadrilatères ayant la propriété ( \(\mathrm{P}_{3}\) ).
4. Y-a-t-il équivalence entre les trois propriétés ?
   b) Dans le cas d'un pentagone (polygone à 5 côtés) convexe :
5. Tracer un pentagone ayant la propriété ( \(\mathrm{P}_{1}\) ), mais pas la propriété ( \(\mathrm{P}_{2}\) ).
6. Tracer un pentagone ayant la propriété ( \(\mathrm{P}_{2}\) ), mais pas la propriété ( \(\mathrm{P}_{1}\) ).

Entrons dans le vif du sujet !

On part d'une feuille rectangulaire ABCD de format \(\mathrm{A} 4(21 \times 29,7 \mathrm{~cm})\). On réalise les pliages successifs suivants :
Pliage 1 (Figure 1) On plie la feuille pour amener le sommet B en D. On nomme DEFG le polygone ainsi obtenu.

Figure 1

Pliage 2 (Figure 2) On plie pour amener le côté [FG] sur la diagonale [BD] du rectangle \(A B C D\). De la même façon, on amène le côté [EC] sur la diagonale [BD] du rectangle ABCD.

Figure 2 Le pentagone JKDLM est-il régulier ?