Exercice 3 — Carrés magiques

Sujet

Séries autres que S

Mentionnés pour la première fois dans un manuscrit vers 2200 avant JC, les carrées magiques seraient originaires de Chine. Leur utilisation ésotérique et artistique a débuté en Chine, s'est poursuivie dans les civilisations les plus diverses. Des mathématiciens, parmi les plus illustres du \(16^{\text {ème }}\) et du 17éme siècle, s'y sont intéressés et les ont étudiés et ceux d'aujourd'hui étudient une généralisation de ces objets magiques dans de plus grandes dimensions.

Un carré magique d'ordre \(n\) est composé des nombres entiers consécutifs de 1 à \(n^{2}\) écrits dans un tableau carré à \(n\) lignes et n colonnes. De plus, les sommes des lignes, des colonnes et des deux diagonales sont toutes égales. Cette somme commune est appelée constante magique.
Un exemple de carré magique d'ordre 4 figure dans le célèbre tableau « Mélancolie» du peintre de la Renaissance Albrecht Dürer (1514 ) :

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Tous les nombres entiers consécutifs de 1 à 16 sont écrits dans le tableau. Les sommes des lignes, des colonnes et des deux diagonales sont égales à 34. La constante magique est 34.

1. Un autre exemple de carré magique d'ordre 4 (sans doute le plus ancien, \(5^{\text {ème }}\) ou \(6^{\text {ème }}\) siècle, figurant dans un temple en Inde)

Compléter le tableau carré ci-contre pour obtenir un carré magique d'ordre 4. Ce carré magique a une autre particularité : la somme des nombres des carrés \(2 \times 2\) (à 4 cases) est aussi égale à la constante magique.

			14
	13	8
16	3	10	5

On démontre qu'il y a 880 carrés magiques d'ordre 4
2. Carrés magiques d'ordre 2

M ontrer qu'il n'existe pas de carré magique d'ordre 2.
3. Carrés magiques d'ordre 3
3.1 M ontrer que tout carré magique d'ordre 3 a pour constante magique 15. On pourra faire le lien entre la constante magique et la somme de tous les nombres entiers inscrits dans le carré magique.
3.2 Ecrire toutes les sommes égales à 15 dont les termes sont trois nombres entiers distincts choisis entre 1 et 9 . Vérifier que vous en trouvez 8.
3.3 En déduire que le nombre situé au centre du tableau carré est 5 et que les nombres situés au milieu des cotés sont impairs.

	impair
impair	5	impair
	impair

3.4 Déterminer tous les carrés magiques d'ordre 3 .
4. Soit n un entier supérieur ou égal à 3 . On admet qu'il existe des carrés magiques à l'ordre n .

M ontrer que tous carrés magiques d'ordre n ont la même constante magique et exprimer cette constante en fonction de n.
On pourra utiliser la formule donnant la somme des N premiers entiers naturels non nuls : \(1+2+\ldots \mathrm{N}=\frac{N(N+1)}{2}\)