Exercice 2 — Les triangles bancals

Sujet

On rappelle tout d'abord les définitions suivantes en géométrie :

• Un angle est aigu si sa mesure est strictement inférieure à \(90^{\circ}\).
• Un angle est obtus si sa mesure est strictement comprise entre \(90^{\circ}\) et \(180^{\circ}\).
• Dans un triangle, le centre de gravité est l'intersection des médianes.
• Si (d) est une droite et \(M\) un point extérieur à (d), le projeté orthogonal de M sur (d) est le point H de (d) tel que (d) et (M H)
  sont perpendiculaires.
  [0pt] Soit ABC un triangle et G son centre de gravité. On dit que ABC est bancal sur le côté [AB] si le projeté orthogonal de G sur (AB) n'appartient pas au segment [AB].
  [0pt] Dans la figure ci-contre, le triangle ABC n'est pas bancal sur le côté [AB] car le projeté orthogonal K de G sur la droite \((\mathrm{AB})\) appartient bien au segment \([\mathrm{AB}]\).

Pour finir on dit qu'un triangle est bancal s'il est bancal sur au moins un de ses côtés.

1. Construire un triangle ABC tel que \(\mathrm{AB}=8 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=6 \mathrm{~cm}\) et \(\mathrm{AC}=3 \mathrm{~cm}\) et dire s'il est bancal. On n'attend que les constructions comme justification.
2. Un triangle ABC équilatéral est-il bancal ? Justifier.
3. Un triangle ABC rectangle et isocèle est-il bancal ? Justifier.

On admettra pour la suite que ABC est bancal sur [AB] si et seulement si le projeté orthogonal du milieu de [AC] n'appartient pas à la demi-droite [BA) ou si le projeté orthogonal du milieu de [BC] n'appartient pas à la demi-droite [AB) :


4. On considère un triangle ABC tel que les angles \(\hat{A}\) et \(\hat{B}\) sont aigus.

M ontrer que \(A B C\) n'est pas bancal sur [AB].
5. Qu'en déduisez-vous si un triangle a 3 angles aigus ?

6. On considère un triangle ABC tel que l'angle \(\hat{A}\) est aigu et \(\hat{B}\) est obtus. On
[0pt] note I le milieu de [AC], J le milieu de [BC], H le pied de la hauteur issue de C et I' le projeté orthogonal de I sur la droite \((A B)\).

On admet que : I' n'appartient pas à la demi-droite [BA) si et seulement si AI'>AB.
6.1 Justifier que \(A B C\) est bancal sur \([A B]\) si et seulement si \(A H>2 A B\).
6.2 En déduire que si \(A B C\) est bancal sur [AB] alors [AB] est le plus petit côté du triangle, et de longueur strictement plus petite que les 2 autres cotés.

6.3 On suppose que \(A B C\) est un triangle bancal sur \([A B]\). Peut-il être bancal sur un autre côté ?