Exercice 4 — Des écarts sur le trapèze

Sujet

On appelle trapèze de largeur \(L\) et de hauteur \(H\) une configuration contenant \(L\) emplacements sur la première ligne, \(\mathrm{L}-1\) sur la suivante et ainsi de suite jusqu'à la dernière ligne qui en contient \(\mathrm{L}-\mathrm{H}+1\). Un entier naturel N est dit trapézien si on peut disposer les entiers 1 à N dans les emplacements d'un trapèze de hauteur H supérieure ou égale à 2 , de telle sorte qu'à partir de la deuxième ligne, tout entier soit égal à l'écart entre les deux entiers situés au-dessus de lui.

Exemples : 5 et 14 sont trapéziens :

\[ \begin{array}{lllllllllllll} 2 & & 5 & & 4 & 9 & & 13 & & 1 & & 11 & \\ & 3 & & 1 & & & & & 14 \\ & & & & & 12 & & 10 & & 3 & \\ & & & & & 8 & & 2 & & 7 & & \\ & & & & 6 & & 5 & & \end{array} \]

1. Vérifier que les entiers 6,7 et 9 sont trapéziens.
2. Justifier que les entiers 4 et 8 ne sont pas trapéziens.
3. Déterminer une égalité entre \(\mathrm{N}, \mathrm{H}\) et L .

On pourra utiliser sans justification la formule suivante : \(1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).
4. Justifier que les puissances de 2 ne sont pas trapéziens.
5. Démontrer que tout nombre impair supérieur ou égal à 3 est trapéziens.

On pourra considérer un trapèze de hauteur 2 et y placer les entiers pairs en bas.