Exercice 1 — À la recherche d'une valeur approchée de \(\pi\)

Sujet

Trouver des approximations du nombre \(\pi\) constitue depuis l'antiquité une préoccupation première des mathématiciens. Les Babyloniens et les Égyptiens furent précurseurs en la matière avec respectivement \(3+\frac{1}{8}=\) 3,125 et \(\left(\frac{16}{9}\right)^{2} \approx 3,16049\). Dans cet exercice on se propose de déterminer une valeur approchée de \(\pi\) avec la méthode des isopérimètres imaginée par René Descartes (1596-1650).

Partie A

M ontrer que si ABC est un triangle rectangle en C et H le pied de la hauteur issue de A alors \(\mathrm{AH}^{2}=\mathrm{BH} \times \mathrm{BC}\).

On pourra calculer de deux façons différentes \(\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}\).

\textbackslash section*\{C

C\

} A
B

Partie B

Figure 1

Figure 2

À partir d'un carré \(\mathrm{A}_{0} \mathrm{~B}_{0} \mathrm{CD}\) de côté 4 inscrit dans un cercle, on construit successivement le point \(\mathrm{H}_{0}\) milieu de \(\left[\mathrm{A}_{0} \mathrm{~B}_{0}\right]\), E l'intersection de la droite ( \(\mathrm{OH}_{0}\) ) et du cercle, \(\mathrm{A}_{1}\) et \(\mathrm{B}_{1}\) les milieux respectifs de \(\left[\mathrm{EA}_{0}\right]\) et \(\left[\mathrm{EB}_{0}\right]\), un octogone régulier comme indiqué dans la figure 1 .

1. Justifier que l'octogone ainsi construit a même périmètre que le carré soit 16.

On réitère le processus comme indiqué sur la figure 2.
Le n-ième polygone a \(2^{n+2}\) côtés et comme périmètre 16.
2. M ontrer que \(\mathrm{OH}_{n+1} \times \mathrm{EH}_{n+1}=\mathrm{A}_{n+1} \mathrm{H}_{n+1}^{2}\).
3. Exprimer \(\mathrm{A}_{n+1} \mathrm{H}_{n+1}\) en fonction de n .

On note \(r_{n}\) la distance \(\mathrm{OH}_{n}\).
4. Déduire de ce qui précède que \(r_{n+1}^{2}-r_{n+1} r_{n}-\frac{1}{4^{n}}=0\).
5. Calculer alors \(r_{n+1}\) en fonction de \(r_{n}\).
6. Écrire alors un algorithme qui permet de calculer \(r_{10}\). En donner la valeur arrondie à \(10^{-6}\).
7. Après avoir expliqué ce qu'il advient lorsque les valeurs de n augmentent, donner une valeur approchée de \(\pi\) à \(10^{-6}\) près obtenue à partir d