Exercice 3 — Le fanion bicolore

À la demande du président de son club de football, Hugo doit créer un fanion bicolore, fanion dont la forme est schématisée par le pentagone ABCDE suivant :

Ce fanion est constitué d'un carré \(A B C E\) de côté \(1 d m\) et d'un triangle \(C D E\) rectangle isocèle en \(D\).
Hugo souhaite trouver un segment qui partage le fanion en deux domaines de même aire : chaque domaine portera l'une des deux couleurs du club.

1. Aire du fanion.

On découpe en calculant l'aire d'un carré et l'aire d'un triangle rectangle isocèle de côté \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). On obtient \(\frac{5}{4} d m^{2}\).
2. Deux exemples de partages.
a. La résolution d'une équation obtenue (en calculant l'aire d'un rectangle) conduit à la solution \(A I=\frac{5}{8} d m\).
b. La résolution d'une équation obtenue (en calculant par exemple l'aire du trapèze ABME) conduit à la solution \(B M=\frac{1}{4} d m\).
3. Pour aller plus loin...
a. Dans le repère (E;C;A) on peut par exemple prouver que \(O\) est le milieu de [EM ]...
b. «Toute droite passant par O partage le fanion en deux domaines de même aire » ? est fausse.

On peut donner un argument géométrique simple en considérant une droite passant par 0 et coupant [BM ] en un point N et [ED] en \(\mathrm{N}^{\prime}\) : OM N et OEN' n'ont pas la même aire.
On peut aussi prendre la droite (AO) qui coupe (EC) en P et (CD) en Q : I'aire du domaine ABCQ n'est pas égale à la moitié de l'aire totale du fanion (calculs dans le repère indiqué).

Exemples de motifs presque stables :

4. Déterminer tous les motifs se transformant en une seule étape en :

On peut ici examiner tous les motifs inscrits dans un carré de côté 4 et examiner le destin de chacun d'entre eux ; il semble moins fastidieux de partir de la nature des cellules vivantes de ce motif (survivante ou qui vient de naître).

• Si le motif est composé de 4 cellules survivantes alors chacune des cases adjacentes avait déjà au moins 3 voisines vivantes à l'étape précédente, toutes les cases adjacentes à ce motif étaient donc vides. Un seul antécédent dans ce cas : le motif lui-même.
• Si le motif est composé de 3 cellules survivantes et une cellule naissante, par exemple

1	2	3	4
12	S	N	5
11	S	S	6
10	9	8	7

alors les cellules \(2,3,4,5\) et 6 étaient vides à l'étape précédente (sinon la naissance n'aurait pas eu lieu) quant aux cellules 1 puis de 7 à 12 , on se retrouve dans la situation précédente.

Ce cas ne fournit donc qu'un antécédent :

• Si le motif est composé de 3 cellules survivantes et deux naissantes, deux cas :

1	2	3
10	\(S\)	4
9	\(S\)	5
8	7	6

\(\quad\) et \(\quad |\)

1	2	3
12		4	5
11	10		6
	9	8	7

premier cas : en raisonnant comme ci-dessus, on trouve un seul antécédent :

deuxième cas : on ne trouve aucun antécédent

• Les autres cas ne fournissent aucune solution.

Bilan : 5 motifs se transforment en une seule étape en

Ces motifs sont :

et