Sujet
Série S
En 1988, le mathématicien britannique Lee Sallows définissait sous le terme de golygône tout polygone à n côtés n'ayant que des angles droits et dont les côtés ont, dans l'ordre, les longueurs \(1,2,3, \ldots n\).On donne ci-contre l'exemple d'un golygône à 16 côtés.
Partie A : premières propriétés
- Construire un golygône à 8 côtés.
- Expliquer pourquoi un golygône a obligatoirement un nombre pair de côtés.
- Expliquer pourquoi il n'existe pas de golygône à 4 côtés. On peut s'aider d'une figure.
- On a établi qu'il existe 28 golygônes à 16 côtés dont 3 seulement ne se recoupent pas (à l'image de l'exemple donné plus haut). Donner un exemple d'un golygône à 16 côtés qui se recoupent.
- Montrer qu'il n'existe pas de golygône à 12 côtés.
Partie B : on va montrer dans cette partie que le nombre de côtés d'un golygône est toujours un multiple de 8.
\[ \text { On admet que : } 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}(\text { pour tout } n \geq 1) . \]1. Question préliminaire :
Exprimer en fonction de \(m\) les sommes suivantes : \(\mathrm{S}=2+4+6+\ldots+2 m\) et \(\mathrm{S}^{\prime}=1+3+5+\ldots+(2 m-1)\).On considère un golygône à n côtés, on sait déjà que n est pair d'après la partie A.
Par conséquent, on va poser \(n=2 m\).
2. En considérant les côtés de longueur impaire, montrer que \(m\) est pair.
3. En considérant, une partie des côtés de longueur paire, montrer que l'entier m est divisible par 4.
4. Conclure.
Partie C : une construction
Construire sur le réseau donné en annexe page 5, un polygone à 9 côtés dont les angles sont tous égaux à \(60^{\circ}\) et dont les côtés ont, dans l'ordre, les longueurs \(1,2,3, \ldots 9\).ANNEXE de l'exercice 2 : RÉSEAU DE TRIANGLES ÉQUILATÉRAUX A RENDRE AVEC LA COPIE
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