Exercice 1 — Défi à la calculatrice : En somme, les nombres !

Sujet

Dans cet exercice, la calculatrice est votre alliée, la feuille de brouillon aussi...

On s'intéresse dans cet exercice aux nombres naturels pouvant s'écrire comme la somme d'au moins deux entiers consécutifs. Par exemple, \(12=3+4+5\) ou encore \(9=4+5\). On appelle décomposition graduée une telle écriture.

Partie A : pour tous les participants

Dans cette partie, aucune justification n'est demandée.

1. Donner la décomposition graduée de 2017.
2. Donner les trois décompositions graduées de 21 .
3. Donner les décompositions graduées, lorsque c'est possible, de tous les nombres entiers entre 1 et 20.
4. Émettre une conjecture sur les nombres n'admettant pas de décomposition graduée.
5. Déterminer les sept décompositions graduées de 210 .

Partie B : uniquement pour les participants de \(1{

^{\text {ère }} \mathbf{S}\)}

1. On admet que : \(1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}(\) pour tout \(n \geq 1)\).

En déduire que : \(n+(n+1)+(n+2)+\ldots+(n+k)=\frac{(1+k)(2 n+k)}{2}\) (pour tout \(n \geq 1\) et \(k \geq 1\) ).
2. Prouver que les puissances de 2 n'admettent pas de décompositions graduées.