Exercice 2 — À vos palettes !

Sujet

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 4 et \(b, j, r\) et \(v\) quatre entiers naturels non nuls tels que \(b+j+r+v= n\). On considère un disque décomposé en \(n\) secteurs identiques.

Les secteurs sont coloriés, en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, comme suit:

• les \(b\) premiers secteurs consécutifs sont coloriés en bleu ;
• les \(j\) suivants sont coloriés en jaune ;
• les \(r\) suivants sont coloriés en rouge ;
• les \(v\) derniers sont coloriés en vert.

La répartition ainsi obtenue est notée \(B^{b} J^{j} R^{r} V^{v}\).
Par exemple, pour \(n=6, b=1, j=2, r=2\) et \(v=1\) on obtient le disque suivant.

On fait tourner le disque suffisamment vite pour obtenir une couleur uniforme correspondant au mélange optique des couleurs \(B, J, R\) et \(V\) dans les proportions respectives \(b, j, r\) et \(v\).

On notera \(M O\) le mélange optique associé à la répartition \(B^{b} J^{j} R^{r} V^{v}\).
Les couleurs bleu et jaune d'une part, rouge et vert d'autre part, ont été choisies de telle façon que, mélangées optiquement en quantités égales, elles donnent du blanc noté \(X\) sur un secteur double.

Ainsi, le mélange optique de la répartition \(B^{p} J^{p} R^{r} V^{v}\) où \(p, r\) et \(v\) sont trois entiers non nuls tels que \(2 p+r+v=n\), est noté \(X^{2 p} R^{r} V^{v}\). Cela correspond soit à un rouge clair, soit à un vert clair suivant les valeurs de \(r\) et \(v\).

Si \(r=v\), alors la répartition \(B^{p} J^{p} R^{v} V^{v}\) donne un \(M O\) blanc égal à \(X^{2(p+v)}\).