Exercice 1 — le ruban escargot

Sujet

Un escargot est placé à l'extrémité d'un ruban élastique de longueur initiale 2 mètres.
Chaque jour, il parcourt 1 mètre en 12 heures et cet effort le contraint à s'arrêter les 12 heures suivantes. Pendant ce temps de repos, le ruban s'étire uniformémēnt̀ dé 2 mèètrēs.

Partie A : premiers pas

1. Justifier l'affirmation suivante : « À la fin de la première journée, l'escargot est situé à 1 mètre de son point de départ et au début du jour suivant, il est à 2 mètres de son point de départ. »
2. Représenter les positions de l'escargot sur le ruban, toutes les 24 heures et jusqu'au jour où ce dernier atteint la deuxième extrémité du ruban.

Partie B : modélisation

Dans cette partie, la longueur initiale du ruban est de 4 mètres et le ruban s'étire uniformément de 4 mètres toutes les 24 heures, dans les mêmes conditions que précédemment.

Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on note :

• \(L(n)\) la longueur du ruban le jour \(n\)
• \(\quad D(n)\) la distance restant à parcourir pour atteindre l'extrémité du ruban au début du jour \(n\).

1. Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, D(n+1)=\left(1+\frac{1}{n}\right)(D(n)-1)\).
2. On pose, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, U(n)=\frac{D(n)}{n}\).

Vérifier que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, U(n+1)=U(n)-\frac{1}{n}\).
En déduire que, pour tout entier \(n \geq 2\),

\[ D(n)=n\left[4-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n-1}\right)\right] \]

1. Écrire un algorithme qui affiche le nombre de jours nécessaires à l'escargot pour atteindre l'extrémité du ruban.
2. Quand arrivera-t-il à cette extrémité ?