Sujet
La planète P90 est peuplée d'habitants, les SKARS, qui ont un mode de déplacement particulier sur un sol que l'on assimile à un plan : un SKAR ne se déplace qu'en faisant une succession de quarts de cercles complets de longueur 1m, deux quarts de cercles successifs ne pouvant pas avoir le même centre, c'est-à-dire que le SKAR ne fait pas de demi-cercle.
Lorsqu'il parcourt un quart de cercle on dira que le SKAR fait un « pas».
1- Un SKAR souhaite se déplacer d'un point \(A\) à un point \(B\).
a. Vérifier que, s'il n'a fait qu'un pas pour aller de A à B , la distance AB est d'environ 90 cm .
b. Si un SKAR part d'un point A, quel est l'ensemble des points du plan qu'il
atteindre en un seul pas.
c. Deux points A et B étant distants de \(0,5 \mathrm{~m}\), un SKAR veut aller de A à B en une succession de pas ? Décrivez et dessinez un itinéraire en deux pas puis un itinéraire en trois pas.
d. Si un SKAR part d'un point A, quel est l'ensemble des points qu'il peut atteindre en deux pas ?
2- Un SKAR veut aller d'un point A à un point B distants de 2017 m .
a. Quel est le nombre de pas minimum qu'il faudra effectuer pour aller de A à B.
b. La planète P90 est peuplée de 1000 milliards de milliards de SKARS. Est-il possible que chaque SKAR puisse emprunter un chemin différent, en faisant un nombre de pas minimum, pour aller de A à B ?
3- Un SKAR se balade sur un chemin rectiligne de largeur d, égale à \(0,90 \mathrm{~m}\) sans en sortir et en faisant en sorte que les extrémités de ses pas restent sur l'axe central (D) du chemin. M ais ce chemin est coupé par un énorme arbre tombé perpendiculairement à cet axe et ne laissant qu'un petit passage sur un des bords du chemin qui l'oblige à changer sa trajectoire. Cette situation est modélisée sur la figure suivante, où l'arbre est représenté par le segment [EF] et le passage étant considéré comme étant le point E et où A est la dernière position du SKAR sur l'axe (D) avant de franchir l'obstacle. Le SKAR projette ainsi une trajectoire représentée par l'arc de cercle d'extrémités A et B passant par E.
a. Démontrer que le centre \(O\) de l'arc de cercle décrit par le SKAR doit se situer sur la droite (EF).
[0pt]
b. Déterminer à quelle distance AH du segment [EF] si le SKAR veut pouvoir franchir l'obstacle de cette façon.
c. Le SKAR réussit à franchir l'obstacle et parti de A, revient ainsi en deux pas sur l'axe (D) du chemin en un point Á. Déterminer la distance AsH.
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