Exercice 2 — Pour des pommes ...

Sujet

Deux joueurs Ariane et Braeburn, notés A et B, possèdent chacun trois pommes. Ariane lance une pièce : si c'est pile qui sort, elle donne une pomme à Braeburn, si c'est face, alors Braeburn lui donne une pomme. Ensuite, le jeu continue ainsi, jusqu'au moment où l'un des joueurs n'a plus aucune pomme : ce dernier est alors gagnant.

On peut décrire tous les états du jeu possibles de la manière suivante :
A6B0 ⟵ A5B1 ↔ A4B2 ↔ A3B3 ↔ A2B4 ↔ A1B5 → A0B6
Les flèches désignent les mouvements possibles d'un état à un autre.

1. a. Une partie peut-elle durer exactement 3 coups ? Si oui, combien existe-t-il de parties différentes durant 3 coups?
   b. Une partie peut-elle durer exactement 4 coups ? Si oui, combien existe-t-il de parties différentes durant 4 coups?
   c. L'affirmation, « Aucune partie ne peut durer 2016 coups », est-elle vraie ou fausse ?
   d. Combien existe-t-il de parties différentes durant 5 coups ?
2. Souhaitant simuler une partie, Braeburn écrit l'algorithme suivant :
   a. Identifier le rôle des différentes variables ?
   b. Cet algorithme s'arrête-t-il toujours ?
3. On s'intéresse au nombre de parties durant exactement 2017 coups.
   Pour tout entier naturel n , on appelle \(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\) le nombre de parties durant exactement \(2 n+1\) coups. De même, on appelle \(b_{n}\) le nombre de parties durant exactement \(2 n+1\) coups mais en partant de la situation où A possède 5 pommes et B une seule.
   a. Que valent \(\mathrm{a}_{0}, \mathrm{a}_{1}, \mathrm{~b}_{0}\) et \(\mathrm{b}_{1}\) ?
   b. En distinguant quatre cas suivant les deux premiers coups joués, montrer que \(a_{n+1}=2 a_{n}+2 b_{n}\).
   c. De même, exprimer \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_{n}\) et de \(b_{n}\).
   d. En déduire que pour tout entier naturel non nul \(n, a_{n}=2 b_{n}\) puis que \(a_{n+1}=3 a_{n}\).
   e. Combien existe-t-il de parties durant exactement 2017 coups?

A prend la valeur 3
B prend la valeur 3
N prend la valeur 0
Tant que \(\mathrm{A}>0\) et \(\mathrm{B}>0\)
P prend la valeur nb.aleatoire( 0,1 )
Si \(P=0\) alors
A prend la valeur A -1
B prend la valeur B +1
Sinon
A prend la valeur \(\mathrm{A}+1\)
B prend la valeur B -1
Fin Si
N prend la valeur \(\mathrm{N}+1\)
Fin Tant que
Afficher N
Si A \(=0\) alors
Afficher « A a gagné »
Sinon
Afficher « B a gagné »
Fin \(\mathbf{S i}\)