Exercice 1 — Combien de triangles seront tracés ?

Sujet

On considère un carré OIJK, le repère ( \(\mathrm{O} ; \mathrm{I}, \mathrm{K}\) ) et pour tout \(n \in \mathbb{N}\), les points \(\mathrm{A}_{n}\left(\frac{1}{4^{n}} ; 0\right)\) et \(\mathrm{B}_{n}\left(\frac{1}{2 \times 4^{n}} ; 1\right)\).
On trace ensuite un certain nombre de triangles :

• D'abord le triangle \(\mathrm{T}_{0}=\mathrm{A}_{0} \mathrm{~B}_{0} \mathrm{~A}_{1}\),
• puis le triangle \(\mathrm{T}_{1}=\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{~A}_{2}\),
• ensuite le triangle \(\mathrm{T}_{2}=\mathrm{A}_{2} \mathrm{~B}_{2} \mathrm{~A}_{3}\),
• etc...

Ceci, jusqu'à ce que la section d'un triangle par la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x\) ait une longueur inférieure à \(10^{-20}\).

Le but de l'exercice est de déterminer combien de triangles seront tracés.

1. a) Tracer la figure avec \(\mathrm{OI}=16 \mathrm{~cm}\).
   b) Représenter approximativement le triangle \(\mathrm{T}_{2}\).
2. a) Montrer que l'équation réduite de la droite ( \(\mathrm{A}_{0} \mathrm{~B}_{0}\) ) est \(y=-2 x+2\).
   b) Déterminer l'équation réduite de la droite ( \(\mathrm{B}_{0} \mathrm{~A}_{1}\) ).
   c) Calculer les coordonnées des points d'intersection de \(\Delta\) avec les deux droites précédentes.
   d) En déduire la longueur de la section du triangle \(T_{0}\) par la droite \(\Delta\).
3. Soit \(n\) un entier naturel.
   a) Quels sont les sommets du triangle \(T_{n}\) ?
   b) Déterminer l'équation réduite de la droite ( \(\mathrm{A}_{n} \mathrm{~B}_{n}\) ) puis celle de la droite ( \(\mathrm{B}_{n} \mathrm{~A}_{n+1}\) ).
   c) En déduire que la longueur de la section du triangle \(\mathrm{T}_{n}\) par la droite \(\Delta\) est \(\frac{\sqrt{2}\left(6 \times 4^{n}-3\right)}{8 \times 4^{2 n}+2 \times 4^{n}-1}\).
4. a) Écrire un algorithme permettant de trouver le nombre cherché de triangles tracés.
   b) Programmer cet algorithme sur une calculatrice puis conclure.