Exercice 1 — Le théorème de Guldin

Sujet

Série S

Paul Guldin (1577-1643) est un mathématicien et astronome suisse.
II est notamment connu pour ses formules relatives aux calculs de volumes dans son traité Centrobaryca seu de Centro gravitatis.
Il y énonce le théorème suivant :
Dans l'espace, on considère une surface d'aire \(A\) et on note G son centre de gravité. Le volume \(V\) engendré par la rotation de cette surface autour d'une droite d située dans son plan et ne la coupant pas est donné par :

\[ V=2 \pi q A \]

où \(q\) désigne la distance entre G et la droite \(d\).
Dans ce problème, on se propose de démontrer le théorème de Guldin dans

deux cas particuliers avant d'en entrevoir une application. Les trois parties de ce problème sont indépendantes.

Partie A - Le carré

Dans l'espace, on considère un carré ABCD de côté \(a\) et \(d\) une droite parallèle à (AD) située dans le plan (ABCD) (cf. figure 1). La rotation du carré autour de la droite \(d\) engendre un solide appelé tore à section carrée (cf. fig. 2).

Figure 1

Figure 2

On suppose ici que le point A est à une distance \(a\) de la droite \(d\). Le centre de gravité G du carré ABCD est situé à l'intersection de ses diagonales.
Déterminer le volume \(V\) de ce solide sans utiliser le théorème de Guldin , puis en utilisant le théorème de Guldin.

Partie B - Le triangle

On cherche d'abord à obtenir deux résultats préliminaires.

Résultat préliminaire 1

NORM ANDIE
CAEN - ROUEN

Exercice 3 : Nombres entiers, triangle et pyramide Séries autres que S

Partie A

Les six nombres entiers compris entre 1 et 6 sont à placer dans six cercles disposés en triangle (voir ci-contre), chaque cercle ne pouvant recevoir qu'un entier. On considère que deux configurations sont identiques si elles correspondent au même placement relatif des entiers par rotation du triangle.

Objectif : rechercher toutes les configurations pour lesquelles les sommes des nombres entiers sont égales sur chaque côté du triangle.

1. On considère la situation où les nombres entiers 4 , 5 et 6 sont disposés sur les
   
   sommets du triangle.
   a. Donner une disposition des nombres 1,2 et 3 pour laquelle les sommes des entiers sont égales sur chaque côté du triangle.
   b. En déduire une configuration différente de la précédente répondant également au problème.

On considère, dans la suite de l'exercice, une configuration pour laquelle les sommes des entiers sont égales sur chaque côté du triangle. On note S cette somme commune.
2. On s'intéresse à la somme des entiers figurant sur les trois côtés du triangle (les sommets sont comptés deux fois) c'est-à-dire à \(3 \times \mathrm{S}\).
a. Montrer que \(3 \times\) S est un nombre entier compris entre 27 et 36 .
b. En déduire les valeurs possibles pour \(3 \times 5\), puis pour 5 .
3.
a. Montrer que la somme des entiers situés aux sommets du triangle est un multiple de 3 , puis que celle des entiers situés aux milieux des côtés du triangle est également un multiple de 3 .
b. Dresser la liste de ces deux familles de sommes complémentaires.

Par exemple : la somme \(1+2+3\) est associée à la somme \(4+5+6\).
4. Déduire des questions précédentes toutes les configurations distinctes pour lesquelles les sommes des entiers sont égales sur chaque côté du triangle.

Partie B: On considère maintenant une pyramide à base triangulaire dans laquelle il s'agit de placer les neuf nombres entiers allant de 1 à 9 en respectant les mêmes règles que dans la partie 1 .

Objectif : rechercher s'il existe des configurations pour lesquelles les sommes des entiers sont égales sur chaque arête de la pyramide.