Exercice 2 — saluts mathématiciens — Olympiades 2017 Aix-Marseille

Sujet

Lors d'un séminaire international de mathématiques, les voitures des délégations de trois pays, la France, la Belgique et le Canada, arrivent en même temps sur le parking de l'université.
Il y a 4 Français, 3 Belges et 5 Canadiens.
Lorsqu'ils se rencontrent, les mathématiciens de nationalité différente se serrent la main.
Combien de poignées de mains sont alors échangées ?
Ayant apprécié le séminaire, ces mêmes mathématiciens se donnent rendez-vous l'année suivante.

Ils se connaissent désormais un peu mieux et quand ils se rencontrent, les mathématiciens de nationalité différente se font la bise. M ais la coutume est différente dans chaque pays : les Français ont l'habitude de faire deux bises, les Belges en font une et les Canadiens en font trois. Lorsque deux personnes se rencontrent, c'est le nombre de bises de celui qui en fait le plus qui est échangé.
Combien de bises sont échangées au total ?
3) L'année suivante, pour le grand colloque international, les délégations des trois pays sont élargies et arrivent chacune dans un minibus différent. En arrivant sur le parking de l'université les mathématiciens de nationalité différente se saluent en échangeant des bises comme l'année précédente.
En tout, 648 bises sont échangées, et on compte 27 mathématiciens. L'un d'entre eux fait remarquer que les Canadiens sont deux fois plus nombreux que les Belges.
Déterminer le nombre de mathématiciens de chaque nationalité.
4) Face au succès de ce colloque, il est renouvelé l'année suivante. Le nombre de mathématiciens de chaque pays a changé. Les trois délégations arrivent dans des minibus qui peuvent transporter jusqu'à 12 mathématiciens. Arrivés sur le parking de l'université, ils observent le même rituel de salut que l'année précédente, et 460 bises sont échangées.
On cherche le nombre de participants de chaque nationalité.
5)
a. Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche toutes les solutions possibles.

Variables	f, b, c et n sont des nombres entiers
Traitement	Pour f allant de .... à .... Pour b allant de ... à .... Pour c allant de ... à .... n prend la valeur .... Si \(n=\ldots\) Afficher « une solution est : » f, b, c Pause Fin si Fin pour Fin pour Fin pour

b. L'exécution de l'algorithme précédent produit l'affichage suivant : Un mathématicien Français a compté qu'il avait échangé en tout 41 bises.
Combien y avait-il de mathématiciens de chaque nationalité?

Une solution est : 4811
Une solution est : 5108
Une solution est : 8411
Une solution est : 1058
Fait

Séries \(S\) et autres que \(S\)

Chacun des 4 Français serrera la main des 3 Belges. Il y aura donc \(3 \times 4=12\) poignées de main entre Français et Belges.
De même, il y en aura \(4 \times 5=20\) entre Français et Canadiens, et \(3 \times 5=15\) entre Belges et Canadiens.
En tout, c'est donc \(12+15+20=47\) poignées de main qui seront échangées.
En notant f le nombre de Français, b le nombre de Belges et c le nombre de Canadiens, le nombre N de bises échangées est donné par : \(\mathrm{N}=2 \mathrm{bf}+3 \mathrm{bc}+3 \mathrm{fc}\).
Il y a 3 solutions à tester :

Si c'est un Français qui est malade, on a alors \(\mathrm{f}=3, \mathrm{~b}=3\) et \(\mathrm{c}=5\). On calcule \(\mathrm{N}=108\).
Si c'est un Belge qui est malade, on a alors \(\mathrm{f}=4, \mathrm{~b}=2\) et \(\mathrm{c}=5\). On calcule \(\mathrm{N}=106\).
Si c'est un Canadien qui est malade, on a alors \(\mathrm{f}=4, \mathrm{~b}=3\) et \(\mathrm{c}=4\). On calcule \(\mathrm{N}=108\).

C'est donc un mathématicien belge qui est tombé malade.
3) Les données du problème permettent d'écrire le système de 3 équations à 3 inconnues suivant :

\[ \left\{\begin{array}{c} 2 b f+3 b c+3 f c=648 \\ f+b+c=27 \\ c=2 b \end{array}\right. \]

En procédant par substitution, on obtient l'équation du second degré en b suivante :
\(-18 b^{2}+216 b-648=0\) ou encore, en simplifiant par \(18:-b^{2}+12 b-36=0\)
Son discriminant est nul et elle ne possède donc qu'une solution qui est \(b=6\).
On trouve ensuite \(c=2 b=2 \times 6=12\) et enfin \(f=27-12-6=9\)
Il y avait donc 9 Français, 6 Belges et 12 Canadiens.
4)
a.

Variables	f, b, c et n sont des nombres entiers
Traitement	Pour f allant de \(\mathbf{0}\) à 12 Pour b allant de \(\mathbf{0}\) à 12 Pour c allant de \(\mathbf{0}\) à 12 n prend la valeur \(\mathbf{2 f b} \boldsymbol{+} \mathbf{3 f c} \boldsymbol{+} \mathbf{3 b c}\) Si \(\mathrm{n}=640\) Afficher « une solution est : » f, b, c Pause Fin si Fin pour Fin pour Fin pour

b. L'exécution du programme donne 4 solutions possibles :

\[ \begin{aligned} & f=5, b=10, c=12 \\ & f=7, b=11, c=9 \\ & f=10, b=5, c=12 \\ & f=11, b=7, c=9 \end{aligned} \]

Seule la dernière donne un nombre de Français supérieur aux autres, c'est donc la solution :
Il y avait 11 Français, 7 Belges et 9 Canadiens.