Pierre a construit un parcours de marche à pied de 15 km entre les points \(A\) et \(B\). Ce parcours se divise en trois parties, chacune d'au moins 1 km : la première est une montée, la seconde est en terrain plat, la troisième est une descente.
L'objectif est de se conformer à un rythme de progression donné. Les marcheurs doivent parcourir les montées à la vitesse de \(4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\), les descentes à \(6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\), et marcher à \(5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) en terrain plat. Dans ces conditions, le parcours de \(A\) vers \(B\) s'effectue en exactement 3 heures.
Appelons \(m, p\) et \(d\), respectivement, les distances à parcourir en montée, en terrain plat et en descente, comptées dans le sens A vers B.
L'énoncé donne deux relations : \(m+p+d=15\) et \(\frac{m}{4}+\frac{p}{5}+\frac{d}{6}=3\), qui peuvent être traduites par
\[ \left\{\begin{align*} m+p+d & =15 \tag{*}\\ 5 m+2 p & =30 \end{align*}\right. \]
Le temps mis «à la régulière» pour effectuer le parcours de B vers A s'exprime par \(T=\frac{m}{6}+\frac{p}{5}+\frac{d}{4}\).
Soit encore \(60 T=10 m+12 p+15 d\).
Les trois relations conduisent à \(5(d-m)=60 T-180\), ou encore \(T=3+\frac{1}{12}(d-m)\).
Les relations (*) conduisent à l'expression de \(m\) et \(d\) en fonction de \(p\) :
\[ \left\{\begin{aligned} (m & =6-\frac{2 p}{5} \\ d & =9-\frac{3 p}{5} \end{aligned}\right. \]
Il s'ensuit que \(d-m=3-\frac{p}{5}\) et donc que \(T=3+\frac{1}{4}-\frac{p}{60}\).
Sous cette dernière forme, on voit que :