Exercice 2 — Série S.

1. a) Des six nombres constitués des trois chiffres 1 , 2 et 3 apparaissant chacun une unique fois, un est le code initial, deux permettent l'ouverture et les trois autres ne la permettent pas. Si 123 permet d'ouvrir, le code initial est 231 ou 312 (les trois sont fabriqués par permutations circulaires) et 132, 213 et 321 conduisent à l'échec.
   b) Les codes initiaux ont un chiffre commun avec 123. Ce sont donc 132, 213 et 321 .
   c) 123 permet d'ouvrir la porte si le code initial est 231 ou 312 , 231 « ouvre» 312 et 123, 132 ouvre 321 et 213 et 213 ouvre 132 et 321 . Les six codes initiaux possibles sont représentés. La porte s' ouvre.
   d) Il y a deux groupes de trois nombres \(\{123,231,312\}\) et \(\{132,321,213\}\) dans lesquels chacun des trois nombres libère les deux autres s'ils sont utilisés comme codes initiaux. En prenant un nombre dans chaque, on libère quatre codes, mais les deux restant ne peuvent être libérés par un même nombre. On ne peut donc trouver une liste de trois nombres ouvrant la porte.

On améliore le système : le code initial est un nombre formé avec les quatre chiffres \(1,2,3\) et 4 , le mode d'emploi étant le même que précédemment.
2. a) Un code initial à quatre chiffres est fixé. Sans perdre la généralité, notons-le 1234. Dans tout nombre ouvrant le code 1234, le \(\ll 1>\) prend la place d'un autre chiffre, par exemple \(<2 \gg\). Soit il échange sa place avec \(\ll 2>\), et les deux autres chiffres doivent aussi échanger leurs places. Soit il prend la place d'un troisième, par exemple « 3 », et « 4 » doit donner sa place à « 3 ». Pour chaque changement de place du << 1 >, il y a trois dispositions possibles. Comme il y a trois choix pour déplacer < 1 >, on trouve que la liste des codes ouvrant le code initial 1234 contient 9 nombres de quatre chiffres.
b) Considérons la suite \(1234-2341-3412-4123\).

Le tableau ci-contre montre les ensembles de codes libérés par chacun des 4 nombres proposés. Chacun des termes de la suite se retrouve dans les trois groupes engendrés par les autres. Quatre autres codes sont répétés. Les 24 permutations possibles sont obtenues.
c) Considérons la suite \(12345-23415-34125-41235-51234-52341-53412-54123\), construite en ajoutant 5 à gauche ou à droite de chacun des quatre motifs précédents.
Si le code à casser se termine par 5 , ses quatre premiers chiffres résultent de l'effet d'une permutation sans point fixe sur un des termes, disons X, de la suite 1234-2341-3412-4123. Il est alors cassé par 5 suivi de X . S'il ne se termine pas par un 5,5 est un de ses chiffres autre que le dernier et un échange entre 5 et le dernier chiffre ramène à la situation précédente. Cet échange ne nous fait pas sortir de l'ensemble des permutations admissibles. On a donc trouvé une suite de huit combinaisons qui casse tous les codes. Huit n'est cependant pas un minimum...