On cherche deux ensembles \(A\) et \(B\), dont les éléments sont des nombres entiers naturels, tels que tout entier naturel compris entre 0 et 2016 puisse être écrit comme la somme d'un élément de \(A\) et d'un élément de \(B\). De plus, \(A\) et \(B\) doivent avoir le même nombre d'éléments.
- 0 est élément de \(A\) et de \(B\), car \(0+0\) est la seule façon de l'obtenir comme somme. Pour la suite on peut rassembler dans les nombres impairs de 1 à 2012 et 2 et dans \(B\) les nombres pairs de 2 à 2014 . Les seuls nombres qui ne sont pas obtenus comme leur somme avec 0 sont \(2013(1006+1007), 2015(1007+1\) 008) et \(2016(2+2014)\). Il y a ainsi 1008 nombres dans \(A\) comme dans \(B\).
- Si \(A\) et \(B\) ont chacun \(n\) éléments, les nombre de couples ( \(a, b\) ) faits d'un élément de \(A\) et d'un élément de \(B\) est \(n^{2}\). C'est aussi le nombre maximal de sommes réalisées avec un élément de \(A\) et un élément de \(B\). Une condition nécessaire sur \(n\) est donc \(n^{2} \geqslant 2016\). Le premier carré d'entier supérieur à 2016 est 45 .
- On peut composer \(A\) avec les entiers compris entre 0 et 44 (ce qui fait 45 éléments) et \(B\) avec les multiples de 45 , de 0 à \(44 \times 45=1980\) (ce qui fait aussi 45 éléments). Pour tout entier \(m\) compris entre 0 et 2016 , la division euclidienne de \(m\) par 45 donne un quotient \(q\) et un reste \(r\) inférieur strictement à 45 . Le nombre \(45 q\) est un élément de \(B\), le nombre \(r\) est un élément de \(B\).