Sujet
Sophie et Martin réalisent des bracelets à partir de morceaux de chaine dont ils peuvent ouvrir et refermer des maillons.
- Sophie dispose de deux morceaux de chaine comportant chacun trois maillons et d'un autre comportant deux maillons.
Expliquer comment elle peut réaliser un bracelet de huit maillons en ouvrant et en refermant seulement deux maillons.
2. Martin, lui, dispose uniquement de morceaux de chaine ayant trois maillons.
Il veut en faire des bracelets en ouvrant le moins possible de maillons et en utilisant tous les maillons.
a) Montrer que, pour avoir un bracelet de douze maillons en utilisant quatre morceaux de chaine, il lui suffit d'ouvrir et de refermer seulement trois maillons.
Martin peut-il faire mieux ?
b) Il utilise maintenant huit morceaux de chaine pour fabriquer un bracelet.
Quel est le nombre minimum de maillons à ouvrir ?
c) Et s'il s'agit de former un bracelet avec sept morceaux de chaine?
Un bracelet de douze maillons
d) A supposer que Martin ait 672 morceaux de chaine, chacun de trois maillons, quel nombre minimum de maillons devra-t-il ouvrir pour former un bracelet de 2016 maillons?
e) Qu'en serait-il pour un bracelet respectivement de 2013, 2019, 2022 maillons?
Sophie et Martin réalisent des bracelets à partir de morceaux de chaine dont ils peuvent ouvrir et refermer des maillons.
- Sophie dispose de deux morceaux de chaine comportant chacun trois maillons et d'un autre comportant deux maillons.
Ouvrant les deux maillons du morceau de deux, Sophie les utilise pour relier les deux morceaux de trois. Elle obtient un bracelet de huit maillons et n'a ouvert et refermé que deux maillons.
2. Martin, lui, dispose uniquement de morceaux de chaine ayant trois maillons.
Il veut en faire des bracelets en ouvrant le moins possible de maillons et en utilisant tous les maillons.
a) Ouvrir les maillons d'un morceau et s'en servir pour relier les trois autres. On obtient un bracelet de douze maillons. C'est le mieux : pour défaire le bracelet et retrouver les maillons, on ouvre un maillon, puis en tournant, un autre après trois maillons, un troisième après trois maillons. On a ouvert trois maillons, il y a trois morceaux, et un quatrième avec les trois maillons ouverts.
b) Avec huit morceaux. Ouvrant les maillons d'un morceau, on relie en chaine quatre morceaux (de douze maillons) ; il reste trois morceaux de trois maillons ; on ouvre les maillons d'un morceau pour relier en bracelet ce qui reste.
c) Avec sept morceaux, le nombre d'ouvertures est le même.
d) Pour un nombre de morceaux multiple de 4 (comme 672) ? soit \(4 a\) ? on ouvre les maillons de \(a-1\) morceaux pour former un chaine avec \(3 a-1\) morceaux ; avec cette longue chaine, il reste trois morceaux ; trois ouvertures suffisent pour former le bracelet.
Il y a donc \(3 a\) ouvertures (c'est-à-dire 504 pour l'exemple).
e) • Pour un nombre de morceaux multiple de 4 plus 3 (comme 671, s' agissant de 2013 maillons), ? soit \(4 a+3\) ? on ouvre les maillons de \(a\) morceaux pour former un chaine avec \(3 a+1\) morceaux ; avec cette longue chaine, il reste deux morceaux; trois ouvertures suffisent pour former le bracelet. Il y a donc \(3 a+3\) ouvertures (c'est-à-dire 504 pour l'exemple).
- Pour un nombre de morceaux multiple de 4 plus 1 (comme 673 ), ? soit \(4 a+1\) ? on ouvre les maillons de \(a\) morceaux pour former un chaine avec \(3 a+1\) morceaux ; cette longue chaine épuise les maillons, on ouvre l'un d'eux pour la fermer en bracelet.
Il y a donc \(3 a+1\) ouvertures (c'est-à-dire 505 pour l'exemple). - Pour un nombre de morceaux multiple de 4 plus 2 (comme 674 , s' agissant de 2022 maillons), ? soit \(4 a+2\) ? on ouvre les maillons de \(a\) morceaux pour former une chaine avec \(3 a+1\) morceaux ; avec cette longue chaine, il reste un morceau; deux ouvertures suffisent pour former le bracelet.
Il y a donc \(3 a+2\) ouvertures (c'est-à-dire 506 pour l'exemple).