Sujet
Chloé veut acheter un couple de poissons rouges (un mâle et une femelle) pour son nouvel aquarium. Pour cela, elle se rend dans une animalerie où elle rencontre un vendeur un peu loufoque qui semble passionné de mathématiques.
- Le vendeur commence par lui montrer un premier aquarium qui contient quatre poissons rouges (un mâle et trois femelles). Il lui indique que si elle choisit au hasard successivement deux poissons dans cet aquarium, la probabilité d'avoir un mâle et une femelle est égale à \(1 / 2\).
Justifier les propos du vendeur. - Le vendeur lui montre ensuite un deuxième aquarium qui contient neuf poissons rouges. Il lui dit à nouveau que si elle choisit au hasard deux poissons dans cet aquarium, la probabilité d'avoir un mâle et une femelle est égale à \(1 / 2\).
Déterminer une répartition possible entre mâles et femelles dans cet aquarium. - a) Chloé, amusée par ce vendeur, commence à se prendre au jeu . . . elle réfléchit et arrive à la conclusion :
«Pour que la probabilité d'obtenir un mâle et une femelle en choisissant au hasard deux poissons dans un aquarium donné soit égale à \(1-2\), il faut que le nombre total de paires que l'on peut constituer avec les poissons de cet aquarium soit pair. »
N.B. : On appelle «paire» de poissons les ensembles du type \(\left\{P_{1}, P_{2}\right\}\), où \(P_{1}\) et \(P_{2}\) sont deux poissons distincts.
On rappelle que \(\left\{P_{1}, P_{2}\right\}=\left\{P_{2}, P_{1}\right\}\).
Expliquer la conclusion de Chloé.
b) ) Du coup, Chloé réagit vivement lorsque le vendeur lui annonce que dans un autre aquarium avec 70 poissons, la probabilité d'obtenir un mâle et une femelle en choisissant au hasard deux poissons est égale à 1-2. Expliquer pourquoi. - Pendant que le vendeur, vexé, lui expose ses théories probabilistes, Chloé continue à réfléchir. Envisageant un nombre de poissons dans l'aquarium compris entre 30 et 50 , elle affirme : «Je peux trouver une répartition entre mâles et femelles dans l'aquarium pour qu'en prenant deux poissons au hasard la probabilité d'obtenir une femelle et un mâle soit égale à 1/2, mais à condition que le nombre total de poissons soit 36 ou 49 ».
Dans la suite on s'intéresse au cas général. On étudie un aquarium théorique, de contenance illimitée, dans lequel se trouvent \(n\) poissons, \(n\) entier supérieur ou égal à 2 .
On note \((\mathrm{H})\) la propriété : « il y a une répartition entre mâles et femelles dans l'aquarium telle que, lorsqu'on choisit au hasard deux poissons, la probabilité d'obtenir un mâle et une femelle soit \(1 / 2\). »
a) Avec la déclaration de Chloé, exprimer une conjecture à propos des valeurs de l'entier \(n\) pour lesquelles la propriété (H) est vraie.
b) Démontrer cette conjecture.
c) Pour un aquarium contenant \(n\) poissons ( \(n\) entier supérieur ou égal à 2 ) et vérifiant la propriété (H), donner une répartition possible entre femelles et mâles.
- On réalise un arbre représentant la situation, avec le mâle \(\mathrm{M}_{1}\), les femelles \(\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}, \mathrm{~F}_{3}\).
On munit l'univers de la loi d'équiprobabilité (tirage au hasard).
Les issues favorables sont \(\left\{\left(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{~F}_{1}\right)\left(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{~F}_{2}\right)\left(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{~F}_{3}\right)\left(\mathrm{F}_{1}, \mathrm{M}_{1}\right)\left(\mathrm{F}_{2}, \mathrm{M}_{1}\right)\left(\mathrm{F}_{3}, \mathrm{M}_{1}\right)\right\}\).
Donc la probabilité cherchée est égale à \(\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\).
2. Avec neuf poissons, en commençant un arbre par essais (un mâle, deux mâles ...), on découvre une répartition possible : 3 mâles et 6 femelles. (Bien sûr 3 femelles et 6 mâles convient).
L'univers est alors constitué de \(9 \times 8=72\) issues et les issues favorables sont: \(\left\{\left(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{~F}_{1}\right) \ldots\left(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{~F}_{6}\right)\left(\mathrm{M}_{2}\right.\right.\), \(\left.\left.\mathrm{F}_{1}\right) \ldots\left(\mathrm{M}_{2}, \mathrm{~F}_{6}\right)\left(\mathrm{M}_{3}, \mathrm{~F}_{1}\right) \ldots\left(\mathrm{M}_{3}, \mathrm{~F}_{6}\right)\right\}\) et les couples symétriques soit 36 issues favorables.
Ainsi la probabilité de l'événement «avoir deux poissons de sexe différent» est bien égale à \(\frac{1}{2}\).
Autrement : avec \(x\) mâles et \(y\) femelles on est conduit à \(x y=18\) et \(x+y=9\) etc.
3. a) En effet, pour que l'événement «obtenir deux poissons de sexe différent» ait une probabilité égale à \(\frac{1}{2}\), il faut que le nombre total de paires de poissons distinctes soit le double du nombre de paires distinctes de sexe différent. Ainsi ce nombre est multiple de 2 , donc il est pair.
b) ) Dans le cas de 70 poissons, nous avons \(70 \times 69\) issues possibles (en tenant compte de l'ordre), soit \(\frac{70 \times 69}{2}=2415\) paires distinctes de poissons. (En effet une paire distincte donne deux 2 couples distincts).
2415 n'est pas pair. Donc la probabilité d'avoir deux poissons de sexe différent ne peut pas être égale à \(\frac{1}{2}\).
4. a) A la vue des exemples précédents, on peut conjecturer que si la propriété (H) est vérifiée alors \(n\) est un carré parfait.