Sujet
Dans cet exercice, une coccinelle se déplace sur les côtés d'un carré ABCD en partant toujours du point \(\mathbf{A}\). Elle peut rebrousser chemin si elle le souhaite.
On appelle déplacement élémentaire tout trajet de la coccinelle le long d'un côté du carré, d'un sommet à un autre. A partir d'un sommet donné, il y a donc deux déplacements élémentaires possibles.
Une marche est constituée de déplacements élémentaires.
Ainsi, la marche \(\mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{B} \longrightarrow \mathrm{A} \longrightarrow \mathrm{D} \longrightarrow \mathrm{C}\) a pour départ A , pour arrivée C et est constituée de quatre déplacements élémentaires.
Partie A
Dans cette partie, la coccinelle se déplace de manière aléatoire sur les côtés du carré ABCD en partant du point A et on considère que tous les déplacements élémentaires sont équiprobables.- Arrivées possibles.
a) Quelles sont les arrivées possibles pour une marche de trois déplacements élémentaires ?
b) Quelles sont les arrivées possibles si la marche comporte un nombre pair de déplacements élémentaires? - Dans cette question, la coccinelle effectue deux déplacements élémentaires. Quelle est la probabilité de l'événement «la coccinelle arrive en A en deux déplacements élémentaires » ?
- Compléter le tableau ci-dessous :
| Nombre de déplacement élémentaires | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Probabilité d'arriver en A |
Partie B
Dans cette partie, la coccinelle se déplace de manière aléatoire sur les côtés du carré ABCD (toujours en partant du point A) et a cette fois deux fois plus de chances de se déplacer verticalement qu'horizontalement. En revanche, elle décide de s'arrêter dès qu'elle revient en A .- Dans cette question, la coccinelle effectue deux déplacements élémentaires.
Dans cet exercice, une coccinelle se déplace sur les côtés d'un carré ABCD en partant toujours du point \(\mathbf{A}\). Elle peut rebrousser chemin si elle le souhaite.
Partie A
Dans cette partie, la coccinelle se déplace de manière aléatoire sur les côtés du carré ABCD en partant du point A et on considère que tous les déplacements élémentaires sont équiprobables.- Arrivées possibles.
a) Avec un arbre, on constate que les arrivées possibles avec 3 déplacements sont B et D .
b) Par généralisation de l'arbre, les arrivées possibles avec un nombre pair de déplacements sont donc A et C. - Toujours avec le même arbre, on trouve en appelant E cet événement \(P(E)=2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\).
- On complète le tableau aisément.
| Nombre de déplacement élémentaires | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Probabilité d'arriver en A | 0 | \(\frac{1}{2}\) | 0 | \(\frac{1}{2}\) | 0 |
Partie B
Dans cette partie, la coccinelle se déplace de manière aléatoire sur les côtés du carré ABCD (toujours en partant du point A) et a cette fois deux fois plus de chances de se déplacer verticalement qu'horizontalement. En revanche, elle décide de s'arrêter dès qu'elle revient en A .- Dans cette question, la coccinelle effectue deux déplacements élémentaires.
a) La probabilité est donc \(\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{5}{9}\).
b) Dans ce cas, on obtient \(\frac{1}{3} \times \frac{2}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{4}{9}\).
Pour 2 déplacements, la probabilité de revenir au même sommet est donc de \(\frac{5}{9}\) et elle est de \(\frac{4}{9}\) d'arriver au sommet opposé.
2. Dans cette question, la coccinelle effectue davantage de déplacements élémentaires.
a) On trouve donc, avec la remarque précédente, la probabilité \(\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{16}{81}\).
b) De même, on obtient \(\frac{4}{9} \times \frac{4}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{80}{729}\).