Exercice 1 — Triangle équilatéral

Sujet

ABC est un triangle équilatéral.
Soit P un point à l'intérieur du triangle.
On note \(\mathrm{Q}, \mathrm{R}, \mathrm{S}\) les projetés orthogonaux de P sur \([\mathrm{AB}],[\mathrm{BC}]\) et \([\mathrm{AC}]\).
On sait que \(P Q=1, P R=2\) et \(P S=3\).
Patrick a tenté de faire une figure, mais il constate que son triangle n'est pas équilatéral :

1. Le but de la question est de construire une figure exacte.
   a) Claudine a réussi à faire la figure en calculant l'angle \(\widehat{Q P R}\). Qu'a-t-elle trouvé? (justifier votre réponse).
   b) Faire une figure à l'échelle. Cette figure sera complétée tout au long de l'exercice.
2. Le but de la question est de calculer la longueur du côté du triangle ABC .
   a) La droite (PS) coupe (AB) en T. Calculer la longueur \(P T\). Calculer la longueur \(A T\).
   [0pt] b) Soit H le projeté orthogonal de T sur [PR]. Montrer que H est le milieu de [PR].
   c) Soit K le projeté orthogonal de T sur \([\mathrm{BC}]\). Calculer \(B T\).
   d) En déduire la longueur du côté du triangle ABC .
3. On note \(R_{C}\) le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC et \(R_{I}\) le rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC . Démontrer que \(P Q+P R+P S=R_{C}+R_{I}\).
4. Retrouver la réponse à la question 2 en utilisant un calcul d'aires.