Sujet
Nous nous intéressons à une compétition sportive où les participants doivent enchaîner deux disciplines : la course à pied et le vélo.
Le parcours consiste en un aller-retour entre deux villes, l'aller s'effectuant à pied, en courant et le retour à vélo. Nous allons étudier plus particulièrement la course de deux participantes : Lou et Anna.
1. Comparaisons
Lou couvre habituellement la distance aller à la vitesse moyenne de \(15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) et le retour à la vitesse moyenne de \(35 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).
a) Calculer la durée totale du trajet aller-retour de Lou en fonction de la distance \(d\) qui sépare les deux villes.
b) À l'entrainement, Anna effectue le trajet aller-retour à la vitesse moyenne de \(20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).
Entre Lou et Anna, laquelle réalise la meilleure performance?
2. Performances
Afin de progresser, Anna veut augmenter sa vitesse moyenne sur l'aller-retour. Elle sait cependant qu'en course à pied, elle ne peut pas faire mieux que \(15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\). Elle est donc consciente qu'il lui faut augmenter sa vitesse à vélo.
Notons \(x\) sa vitesse moyenne sur le retour à vélo et \(v(x)\) sa vitesse moyenne sur l'aller-retour (toutes deux exprimées en \(\mathrm{km} / \mathrm{h}\) ).
a) Démontrer que si Anna optimise sa course à pied \(v(x)=\frac{30 x}{15+x}\).
b) À quelle vitesse Anna doit-elle rouler sur le retour pour que sa vitesse moyenne sur l'aller-retour soit de \(22 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\) ?
c) Démontrer que, quelle que soit la vitesse moyenne d'Anna sur le retour à vélo, sa vitesse moyenne sur l'aller-retour ne pourra jamais dépasser \(30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).
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