Sujet
Dans un repère orthonormé ( \(O ; \vec{i}, \vec{j}\) ) du plan, on note ( \(P\) ) la parabole d'équation \(y=x^{2}\) et on appelle A le point de coordonnées \((0 ; 1)\).
On s'intéresse, dans cet exercice, aux triangles AMM', où M et M' sont deux points de la parabole ( \(P\) ). L'objectif est de déterminer tous les couples de points M et \(\mathrm{M}^{\prime}\) appartenant à \((P)\) pour lesquels le triangle \(\mathbf{A M M}\) ' soit isocèle rectangle en A .
Partie A - Quelques exemples
a) Représenter sur le graphique ci-contre deux exemples simples de triangles AMM', symétriques, qui satisfont le problème (aucune justification n'est attendue).b) Vérifier que les points \(M\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} ; \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\) et \(\mathrm{M}^{\prime}\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2} ; \frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)\) appartiennent à \((P)\) et forment un couple de points également solution au problème.
Partie B - Avec un cercle
On considère le cercle \((\mathscr{C})\) de centre A et de rayon \(r(\) avec \(r>0)\).Ci-dessous le cercle \((\mathscr{C})\) a été représenté dans le même repère que la parabole \(y=x^{2}\) pour cinq valeurs particulières de \(r\).
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Figure 4
Figure 5
- Soit \(\mathrm{M}(x ; y)\) un point quelconque du plan.
Démontrer que M appartient au cercle \((\mathscr{C})\) si et seulement si \(x^{2}+y^{2}-2 y+1=r^{2}\).
2. En déduire que \(\mathrm{M}(x ; y)\) appartient à la fois au cercle \((\mathscr{C})\) et à la parabole \((P)\) si et seulement si \(\left\{\begin{array}{l}y=x^{2} \\ y^{2}-y+1-r^{2}=0\end{array}\right.\)
Partie A - Quelques exemples
a) Voir ci-contre.b) On vérifie que \(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) pour justifier l'appartenance à \((P)\).
Partie B - Avec un cercle
- Soit \(\mathrm{M}(x ; y)\) un point quelconque du plan.
M appartient au cercle \(\mathscr{C}\) si et seulement si \(A M^{2}=r^{2}\). Autrement dit : M appartient au cercle \(\mathscr{C}\) si et seulement si \(x^{2}+(y-1)^{2}=r^{2}\)
M appartient au cercle \(\mathscr{C}\) si et seulement si \(x^{2}+y^{2}-2 y+1=r^{2}\).
2. \(\mathrm{M}(x ; y)\) appartient à la fois au cercle \(\mathscr{C}\) et à la parabole \((P)\) si et seulement si :
\[ \left\{\begin{aligned} y & =x^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2 y+1 & \left.=r^{2}\right) \end{aligned}\right. \]
Autrement dit \(\mathrm{M}(x ; y)\) appartient à la fois au cercle \(\mathscr{C}\) et à la parabole \((P)\) si et seulement si
\[ \left\{\begin{aligned} y & =x^{2} \\ y^{2}-y+1-r^{2} & =0) \end{aligned}\right. \]
La résolution de ce système permet d'obtenir les coordonnées des points M et M ' sur la parabole \((P)\) tels que AMM' soit isocèle.
3. a) et b) On considère l'équation : \(y^{2}-y+1-r^{2}=0 ; \Delta=4 r^{2}-3\).
Si \(r<\frac{\sqrt{3}}{2}\) (figure 1), pas de solution.
Figure 1
Si \(r=\frac{\sqrt{3}}{2}\) (figure 2), une unique solution : \(y=\frac{1}{2}\).
Figure 2
Si \(r>\frac{\sqrt{3}}{2}\) (figures 3, 4, 5) deux solutions envisageables données par \(y=\frac{1 \pm \sqrt{4 r^{2}-3}}{2}\). L'étude du signe de ces solutions amènera à distinguer les cas \(r \leqslant 1\) et \(r>1\).
Figure 3
Figure 4
Figure 5
- Cas général : on suppose dans la suite que : \(r \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}\).
a) \(\mathrm{M}(x ; y), \mathrm{M}^{\prime}\left(x^{\prime} ; y^{\prime}\right)\) appartiennent à la fois à \(\mathscr{C}\) et \((P)\) et sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. On a donc les relations : \(y=x^{2}, y^{\prime}=x ?^{2}, y=y^{\prime}\) et \(x=-x^{\prime}\).
Le théorème de Pythagore ou le produit scalaire permettent d'obtenir l'égalité souhaitée : \(y^{2}-3 y+1=\) 0 .
b) Si \(\boldsymbol{r}>\mathbf{1}\), alors l'équation \(y^{2}-y+1-r^{2}=0\) possède une unique solution positive : \(y=\frac{1+\sqrt{4 r^{2}-3}}{2}\). La résolution de l'équation \(y=x^{2}\) donnera deux solutions opposées pour \(x\), soient deux points M et M' qui vérifient les conditions de la question 5.a. et après résolution de l'équation du second degré \(y^{2}-3 y+1=0\), on obtient \(y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\) et donc \(x= \pm \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
Réciproquement, on sait que cette solution convient d'après la Partie A. b.
Si \(\boldsymbol{r}=1\), la résolution du système de la question 2 donne trois points solutions \(\mathrm{M}_{1}(0 ; 0), \mathrm{M}_{2}(1 ; 1)\) et \(\mathrm{M}_{3}(-1 ; 1)\) qui correspondent aux deux triangles de la partie A. a. (figure 4)
Si \(r \in] \frac{\sqrt{3}}{2} ; 1\left[\right.\), alors \(\Delta>0\) et \(\sqrt{4 r^{2}-3} \leqslant 1\) donc l'équation \(y^{2}-y+1-r^{2}=0\) possède deux solutions \(y\) strictement positives donnant chacune deux valeurs opposées pour \(x\).
On vérifie (Pythagore, considérations géométriques,...) qu'aucun des quatre triangles ne convient.
Enfin, si \(\boldsymbol{r}=\frac{\sqrt{\mathbf{3}}}{\mathbf{2}}\), alors \(y=\frac{1}{2}\) et \(x= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}= \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\).
On vérifie que le triangle AMM ' avec \(\mathrm{M}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{1}{2}\right)\) et \(\mathrm{M}^{\prime}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{1}{2}\right)\) convient (figure 2).