Sujet
Une image numérique en noir et blanc est composée de petits carrés (pixels) dont la couleur va du noir au blanc en passant par toutes les nuances de gris. Chaque nuance est codée par un nombre réel \(x\) de la façon suivante :
- \(x=0\) pour le noir ;
- \(x=1\) pour le blanc ;
- \(x\) varie de 0 à 1 pour toutes les nuances de gris intermédiaires (du foncé au clair).
L'image A, ci-dessous, est composée de quatre pixels et donne un échantillon de ces nuances avec leurs codes.
Un logiciel de retouche d'image utilise des fonctions numériques dites «fonctions de retouche».
Une fonction \(f\) définie sur l'intervalle [ \(0 ; 1\) ] est dite «fonction de retouche» si elle possède au moins les trois propriétés suivantes :
- \(f(0)=0\);
- \(f(1)=1\);
- \(f\) est croissante sur l'intervalle \([0 ; 1]\).
Une nuance codée \(x_{0}\) est dite :
- assombrie par la fonction \(f\) si \(f\left(x_{0}\right) \leqslant x_{0}\);
- éclaircie par la fonction \(f\) si \(f\left(x_{0}\right) \geqslant x_{0}\).
Ainsi, si \(f(x)=x^{2}\), un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée \(0,2^{2}=0,04\).
L'image A sera transformée en l'image B ci-dessous.
Si \(f(x)=\sqrt{x}\), un pixel de nuance codée 0,2 prendra la nuance codée \(\sqrt{0,2} \approx 0,45\).
L'image A sera transformée en l'image C ci-dessous.
Image A
Image B
Image C
Partie A
- On considère la fonction \(f_{1}\) définie sur l'intervalle \([0 ; 1]\) par \(f_{1}(x)=4 x^{3}-6 x^{2}+3 x\). Sa courbe représentative est donnée cicontre.
a) Démontrer que la fonction \(f_{1}\) est une fonction de retouche.
\(f_{1}(0)=0 ; f_{1}(1)=1\).
De plus \(f_{1}\) est dérivable sur l'intervalle \([0 ; 1]\) et
\(f_{1}^{\prime}(x)=12 x^{2}-12 x+3=3(2 x-1)^{2}\).
\(f_{1}^{\prime}(x) \geqslant 0\),pour tout \(x\) de l'intervalle [ \(0 ; 1\) ].
\(f_{1}\) est donc croissante sur l'intervalle \([0 ; 1]\).
La fonction \(f_{1}\) est donc une fonction de retouche.
b) À l'aide du graphique, les nuances codées \(x\) appartenant à l'intervalle \([0,5 ; 1]\) seront assombries par la fonction \(f_{1}\).
c) Pour \(x\) appartenant à l'intervalle \([0 ; 1], f_{1}(x) \leqslant x\) équivaut
à: \(4 x^{3}-6 x^{2}+3 x \leqslant x\)
\(2 x\left(2 x^{2}-3 x+1\right) \leqslant 0\)
\(2 x(2 x-1)(x-1) \leqslant 0\)
Or \(x \in[0 ; 1]\) donc \(f_{1}(x) \leqslant x\) équivaut à : \(2 x-1 \geqslant 0\), c'est-à-
dire \(x \in\left[\frac{1}{2} ; 1\right]\) ].
Conclusion : \(S=\left[\frac{1}{2} ; 1\right]\). - a) Exemple de fonction de retouche \(f_{2}\) définie sur [ \(0 ; 1\) ] éclaircissant toute nuance \(x\) appartenant à l'intervalle \([0 ; 1]: f_{2}(x)=\sqrt{x}\).
b) Exemple de fonction de retouche \(f_{3}\) définie sur [ \(0 ; 1\) ] assombrissant toute nuance \(x\) appartenant à l'intervalle \([0 ; 1]: f_{3}(x)=x^{2}\).
Partie B
- \(g_{1}\) est une fonction polynôme du second degré donc \(g_{1}(x)=a x^{2}+b x+c\), avec \(x\) appartenant à l'intervalle \([0 ; 1]\). \(g_{1}\) est une fonction de retouche, donc \(g_{1}(0)=0\) et \(g ?_{1}(1)=1\).
Ceci se traduit par \(c=0\) et \(a+b=1\)
. Donc \(g_{1}(x)=a x^{2}+(1-a) x\).
De plus \(g_{1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}\).
Par conséquent \(\frac{1}{4} a+\frac{1}{2}(1-a)=\frac{2}{3}\) c'est-à-dire \(a=-\frac{2}{3}\).
Donc \(g_{1}\) est définie sur \([0 ; 1]\) par: \(g_{1}(x)=-\frac{2}{3} x^{2}+\frac{5}{3} x\). - On cherche maintenant une fonction de retouche \(g_{2}\) définie sur [ \(0 ; 1\) ] qui, après l'application de la fonction de retouche \(g_{1}\), permettrait de revenir aux nuances initiales.
a) \(g_{2}(0)=0, g_{2}(1=1)\) et \(g_{2}\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{2}\).
b) \(g_{2}\left(\frac{1}{6}\right)\) équivaut à \(-\frac{2}{3} x^{2}+\frac{5}{3} x=\frac{1}{6}\)
ou encore : \(4 x^{2}-10 x+1=0 . \Delta=84\).
Deux solutions : \(\frac{5-\sqrt{21}}{4}\) et \(\frac{5+\sqrt{21}}{4}\), mais seule la première appartient à l'intervalle [ \(0 ; 1\) ].
Par conséquent \(g_{2}\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{5-\sqrt{21}}{4}\).
c) Pour \(x \in[0 ; 1]\) et \(y \in[0 ; 1]\) :
\(g_{1}(x)=y\) équivaut à \(-\frac{2}{3} x^{2}+\frac{5}{3} x=y\).
ou encore : \(2 x^{2}-5 x+3 y=0 . \Delta=25-24 y\).
Comme \(y \in[0 ; 1], \Delta>0\).
Donc deux solutions : \(\left.\frac{5-\sqrt{25-4 y}}{4}\right) / 4\) et \(\frac{5+\sqrt{25-4 y}}{4}\), mais seule la première appartient à l'intervalle \([0 ; 1]\).
On en déduit l'expression de la fonction de retouche \(g_{2}\) qui, après l'application de la fonction de retouche \(g_{1}\), permet de revenir aux nuances initiales :
\(g_{2}(x)=\frac{5-\sqrt{25-4 y}}{4}\) et on peut vérifier que c'est bien une fonction de retouche.