Sujet
Autrefois, on se servait d'une balance et d'une boîte de poids mesurant les masses en grammes. Toutes les masses sont entières.
Partie A
- On considère la boîte notée \((1,2,2,5)\) contenant les quatre poids suivants : \(1,2,2\) et 5 grammes.
a) Vérifier que l'on peut mesurer toutes les masses de 1 à 10 grammes.
b) Donner une masse qui peut être mesurée de deux manières différentes.
- Quel est le poids que l'on doit ajouter à la boîte précédente pour pouvoir mesurer toutes les masses de 1 à 20 grammes?
- Trouver des nombres \(a\) et \(b\) pour que la boîte de cinq poids notée ( \(1,2,2, a, b\) ) mesure toutes les masses de 1 à 23 grammes.
Partie B
De façon générale, on note \(\left(p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}\right)\) la boîte contenant les \(n\) poids \(p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}\) rangés dans l'ordre croissant et on appelle taille de la boîte la somme, \(T=p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}\).On dit qu'une boîte de poids est parfaite lorsque les poids qui la composent sont tous différents et que toutes les masses comprises entre 1 et \(T\), ne peuvent être obtenues que d'une seule manière.
- Donner deux raisons pour lesquelles la boîte notée \((1,2,2,5)\) ne soit pas parfaite.
- Justifier que si la boîte notée \(\left(p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}\right)\) est parfaite alors \(p_{1}=1\)
- a) Quelle est la seule boîte parfaite de taille 3 ? Justifier.
b) Y a-t-il une boîte parfaite de taille 5 ? De taille 7 ? De taille 15 ? Expliquer pour chaque cas.
c) Conjecturer la taille de la prochaine boîte parfaite. - On admet que les boîtes \(\left(1,2,2^{2}, \ldots, 2^{n}\right)\) sont parfaites.
Qu'en est-il d'une boîte \(\left(1,3,3^{2}, \ldots, 3^{n}\right)\) ? Justifier.
5. On considère la boîte \(\left(1,2,2^{2}, 2^{3}, 2^{4}, \ldots\right)\). Quelle est la taille minimale \(T\) de cette boîte permettant de mesurer la masse 2016 ? On justifiera tous les calculs et en particulier, on indiquera tous les poids utilisés pour obtenir 2016.
Partie A
- a) \(1=1 ; 2=2 ; 3=1+2 ; 4=2+2 ; 5=5 ; 6=1+5 ; 7=2+5 ; 8=1+2+5 ; 9=2+2+5\); \(10=1+2+2+5\).
b) La masse 5 peut être obtenue avec le poids de 5 grammes ou en faisant \(1+2+2\). - Si on ajoute un poids de 10 grammes on peut alors mesurer toutes les masses de 1 à 20 grammes.
- Comme le 5 peut être obtenu de deux façons le poids de 5 grammes est «inutile» dans la boîte ; choisissons donc \(a=6\). On peut ainsi mesurer toutes les masses de 1 à 11 grammes. On doit donc avoir \(b=12\).
Et : \(13=12+1 ; 14=12+2 ; 15=12+2+1 ; 16=12+2+2 ; 17=12+2+2+1 ; 18=12+6 ; 19=12+6+1 ; 20 =12+6+2 ; 21=12+6+2+1 ; 22=12+6+2+2\) et \(23=12+6+2+2+1\).
On vérifie ainsi que la boîte de cinq poids notée \((1,2,2,6,12)\) mesure toutes les masses de 1 à 23 grammes.
Partie B
- La boîte notée \((1,2,2,5)\) n'est pas parfaite pour deux raisons : 2 est répété et la masse 5 peut être obtenue de deux façons différentes (vu à la première question).
- La boîte notée \(\left(p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}\right)\) est parfaite donc toutes les masses comprises entre 1 et \(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}\) sont atteintes; la masse 1 étant atteinte, le plus petit poids de la boîte doit être égal à 1, c'est \(p_{1}\). Donc \(p_{1}=1\).
- a) La seule boîte parfaite de taille 3 est ( 1,2 ).
b) Pour les boîtes parfaites de taille 5 , elles doivent contenir obligatoirement le 1 et le 2 puis un troisième poids strictement supérieur à 2 ; sa taille sera au minimum de 6 donc une boîte parfaite de taille 5 n'existe pas.
Pour les boîtes parfaites de taille 7 , elles doivent contenir obligatoirement le 1 et le 2 puis un troisième poids strictement supérieur à 2 ; ce troisième poids ne peut pas être un 3 sinon la masse 3 serait obtenue de deux façons ; ce troisième poids est donc 4 et sa taille est bien égale à 7 . On vérifie : \(3=1+2\); \(5=1+4 ; 6=2+4\) et \(7=1+2+4\).
La seule boîte parfaite de taille 7 est ( \(1,2,4\) ).
Pour une boîte de taille \(15=1+2+4+8\), on vérifie que tous les masses jusqu'à 8 sont atteinte et : \(9=8+1 ; 10=8+2 ; 11=8+2+1 ; 12=8+4 ; 13=8+4+1\) et \(14=8+4+2\). Une boîte parfaite de taille 15 est notée ( \(1,2,4,8\) ). C'est la seule mais l'unicité n'est pas demandée.
c) On voit apparaître une «règle» : les masses constituant une boîte parfaite sont des puissances de 2 . Ainsi, on peut conjecture que la prochaine boîte parfaite est \((1,2,4,8,16)\) ou \(\left(1,2,2^{2}, 2^{3}, 2^{4}\right)\). - On admet que les boîtes \(\left(1,2,2^{2}, \ldots, 2^{n}\right)\) sont parfaites.
Une boîte \(\left(1,3,3^{2}, \ldots, 3^{n}\right)\) ne peut être parfaite pour de multiples raisons : on ne peut pas obtenir une masse de 2 ou même de \(5,6,7\) ou 8 pour celles de taille supérieure à 4 .