Exercice 2 — Énoncé — Olympiades 2016 Rennes

Sujet

Rappel : Un nombre premier est un entier naturel ayant exactement deux diviseurs positifs distincts. Ainsi par exemple 1, 4 et 18 ne sont pas premiers mais 2, 7 et 17 le sont. Les huit plus petits nombres premiers classés dans l'ordre croissant sont : \(2,3,5,7,11,13,17\) et 19.
On admet que la quantité de nombres premiers est infinie.
On admet qu'il existe une fonction \(f\) définie sur l'ensemble des réels par :

\[ \begin{aligned} & \quad f(p)=1 \text { signifie que } p \text { est un nombre premier, } \\ & \text { et pour tous les réels } x \text { et } y \text { on a : } f(x \times y)=x \times f(y)+f(x) \times y \text {. } \end{aligned} \]

Partie A

Dans cette partie on ne s'intéresse qu'aux entiers naturels.

Justifier que \(f(13)=1\) et que \(f(6)=5\).
Démontrer que \(f(0)=0\) puis que \(f(1)=0\).
Recopier puis compléter sans justification les tableaux suivants :

\(n\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
\(f(n)\)	0	0	1	1		1	5	1

\(n\)	10	111	12	13	14	15	16	17	18	19	20
\(f(n)\)				1				1

a) Démontrer que si \(p\) et \(q\) sont deux nombres premiers alors \(f(p \times q)=p+q\).
b) En déduire \(f(209)\).
c) Trouver tous les entiers naturels \(N\) s'écrivant sous la forme \(N=p \times q\) où \(p\) et \(q\) sont deux nombres premiers tels que \(f(N)=30\).
On admet que si \(p\) est un nombre premier quelconque et \(n\) un naturel non nul alors \(f\left(p^{n}\right)=n p^{n-1}\).
a) Vérifier cette propriété pour \(n=1, n=2\) puis \(n=3\).
b) Calculer \(f(49), f(392)\) puis \(f(f(392))\).
Donner quatre nombres de la forme \(n^{n}\) qui vérifient la relation \(f\left(n^{n}\right)=n^{n}\).

Partie B

Dans cette partie on s'intéresse aux entiers relatifs.

Déterminer \(f(-1)\).
Pour tout \(n\) entier naturel exprimer \(f(-n)\) en fonction de \(f(n)\).

Partie A

Dans cette partie on ne s'intéresse qu'aux entiers naturels.

\(f(13)=1\) car 13 est un nombre premier.
\(f(6)=f(3 \times 2)=3 \times f(2)+2 \times f(3) ;\) or \(f(2)=f(3)=1\) donc \(f(6)=5\).
\(f(0)=f(0 \times 0)=2 \times 0 \times f(0)\) donc \(f(0)=0\).
\(f(1)=f(1 \times 1)=2 \times f(1)\) donc \(f(1)=0\).
Recopier puis compléter sans justification les tableaux suivants :

\(n\)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
\(f(n)\)	0	0	1	1	\(\mathbf{4}\)	1	5	1	\(\mathbf{1 2}\)	\(\mathbf{6}\)	\(\mathbf{7}\)

\(n\)	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
\(f(n)\)	\(\mathbf{1}\)	\(\mathbf{1 6}\)	1	\(\mathbf{9}\)	\(\mathbf{8}\)	\(\mathbf{3 2}\)	1	\(\mathbf{2 1}\)	\(\mathbf{1}\)	\(\mathbf{2 4}\)

a) Si \(p\) et \(q\) sont deux nombres premiers alors \(f(p \times q)=p \times f(q)+q \times f(p)\); ainsi on a \(f(p \times q)=p+q\).
b) \(f(209)=f(11 \times 19)=30\) d'après la question précédente.
c) \(f(p \times q)=30\); on étudie tous les cas :

Si \(p=2, q\) n'est pas premier; de même pour \(p=3\) et \(p=5\).
Si \(p=7, q=23\) convient et \(N=p \times q=7 \times 23=161\).
Si \(p=11, q=19\) convient et \(N=209\).
Si \(p=13, q=17\) convient et \(N=221\) et il n'y a pas d'autre cas.
Les nombres cherchés sont 161, 209 et 221.
5. On admet que si \(p\) est un nombre premier quelconque et \(n\) un naturel non nul alors \(f\left(p^{n}\right)=n p^{n-1}\).
a) Pour \(n=1, f\left(p^{1}\right)=f\left(p=1=1 p^{0}\right.\); la propriété est vraie.

Pour \(n=2, f\left(p^{2}\right)=2 p \times f(p)=2 p=2 p^{2 p-1}\); la propriété est vraie. Pour \(n=3, f\left(p^{3}\right)=p \times f\left(p^{2}\right)+ p^{2} \times f(p)=p \times 2 p+p^{2}=3 p^{2}\); la propriété est vraie.
b) \(f(49)=f\left(7^{2}\right)=2 \times 7^{2-1}=14\).
\(f(392)=f(49 \times 8)=49 f(8)+8 f(49)=49 \times 12+8 \times 14=700\).
\(f(f(392))=f(700)=f(7 \times 100)=7 \times f(10 \times 10)+100 \times f(7)\)
soit \(f(f(392))=7 \times 2 \times 10 f(10)+100=7 \times 140+100\)
donc \(f(f(392))=1080\).
6. Dès que \(n\) est un nombre premier d'après ce qui a été admis à la question 5 , on a : \(f\left(n^{n}\right)=n n^{n-1}=n^{n}\); il suffit donc de choisir quatre nombres de la forme \(n^{n}\) avec \(n\) premier: \(2^{2}, 3^{3}, 5^{5}\) et \(7^{7}\) par exemple.

Partie B

Dans cette partie on s'intéresse aux entiers relatifs.