Sujet
Roméo et Juliette aiment jouer avec les nombres. Ils ont inventé un jeu : Le Tripl-One. Le but du jeu est d'arriver à un nombre entier \(N\) donné en partant de 1 , et en utilisant uniquement deux opérations :
Additionner 1 au nombre obtenu ou Multiplier le nombre obtenu par 3
Chaque personne propose à tour de rôle une des deux opérations. Le gagnant est celui qui obtient le nombre voulu.Exemples : \(N=19\)
| \(1 \xrightarrow{\times 3} 3 \xrightarrow{+1} 4 \xrightarrow{+1} 5 \xrightarrow{\times 3} 15 \xrightarrow{+1} 16 \xrightarrow{+1} 17 \xrightarrow{+1} 18 \xrightarrow{+1} 19\) | 19 est atteint en 8 étapes et si Roméo a commencé, c'est Juliette qui a fini et qui a donc gagné ! |
| \(1 \xrightarrow{+1} 2 \xrightarrow{\times 3} 6 \xrightarrow{\times 3} 18 \xrightarrow{+1} 19\) | 19 est atteint en 4 étapes et si Juliette a commencé, c'est Roméo qui a fini et qui a donc gagné ! |
Partie I : Étude de quelques exemples
- Donner deux décompositions (c'est-à-dire deux suites d'opérations) permettant d'obtenir le nombre \(N=\) 10.
- Roméo a obtenu 31. Pourquoi peut-on affirmer que le nombre précédent était 30 ? Qu'en serait-il si Roméo avait obtenu 63 ?
- Roméo et Juliette cherchent à obtenir pour un nombre \(N\) donné, une décomposition donnant un nombre minimal d'étapes.
a) Déterminer, éventuellement à l'aide d'un arbre, tous les nombres atteignables en 3 étapes.
b) En quel nombre minimal d'étapes peut-on atteindre le nombre 90 ?
c) En déduire le nombre minimal d'étapes pour obtenir 91 et 92 .
d) Qu'en est-il pour 93 ? Pour 105 ? Pour 108 ?
Montrer dans chaque cas les étapes minimales conduisant à chacun de ces nombres.
Partie II : Quelques types de nombres particuliers
On considère un nombre \(N\) atteint en un nombre minimal de \(\boldsymbol{p}\) étapes (où \(p\) est un entier).- Supposons tout d'abord que N soit une puissance de 3 .
a) Donner la valeur de \(p\) lorsque \(N=38\).
b) Dans le cas général, déterminer en fonction de \(p\), le nombre minimal d'étapes pour atteindre le nombre \((N+1)\), puis le nombre \((N+3)\). - Supposons maintenant que \(N\) soit un multiple de 3 .
Déterminer en fonction de \(p\), le nombre minimal d'étapes pour atteindre le nombre ( \(N+1\) ).
Donner un nombre \(N\), tel que le nombre ( \(N+3\) ) soit atteint en moins de \(p\) étapes.
Partie I : Étude de quelques exemples
- Donner deux décompositions (c'est-à-dire deux suites d'opérations) permettant d'obtenir le nombre \(N=\) 10.
par exemple \(1 \rightarrow 3 \rightarrow 9 \rightarrow 10\) ou encore \(1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 9 \rightarrow 10\) - Roméo a obtenu 31. Pourquoi peut-on affirmer que le nombre précédent était 30 ?
Qu'en serait-il si Roméo avait obtenu 63 ?
on passe d'un nombre au précédent soit en divisant par 3, soit en enlevant 1 .
Or ici 31 n'est pas divisible par \(3 \ldots\) C'est donc \(31-1=30\)
3. Roméo et Juliette cherchent à obtenir pour un nombre \(N\) donné, une décomposition donnant un nombre minimal d'étapes.
a) Déterminer, éventuellement à l'aide d'un arbre, tous les nombres atteignables en 3 étapes.
b) En quel nombre minimal d'étapes peut-on atteindre le nombre 90 ?
La réponse est 5 , en effet : Une fois arrivé à la 3ème étape (obligatoire car 90 n'est pas obtenu avant), deux étapes supplémentaires suffisent car \((10 \times 3) \times 3=90\) On ne peut pas faire moins car une seule étape supplémentaire donne au maximum le nombre \(27 \times 3=81\).
c) En déduire le nombre minimal d'étapes pour obtenir 91 et 92.
Pour 91 , ce sera 6 étapes. . . les 5 qui mènent à 90 et celle du « \(+1 »\). En effet, le nombre qui précède 91 est nécessairement 90 (car 91 n'est pas divisible par 3 ) or 90 est atteint en un minimum de 5 étapes. De même, le nombre qui précède 92 est forcément 91 et on trouve donc 7 étapes au minimum.