Exercice 3 — Bactéries — Olympiades 2016 Reims

Sujet

Un nouveau produit facilite la reproduction de bactéries. Il est régi par deux principes :

Quand il est employé, le nombre de bactéries augmente mais on ne connaît pas le nouveau nombre de bactéries.
S'il est utilisé deux fois de suite, il triple le nombre de bactéries initial.

Pour modéliser l'action de ce produit, nous nommons \(F\) la fonction qui à tout entier naturel \(n\) (nombre de bactéries dans la population initiale) associe l'entier naturel \(F(n)\) donnant le nombre de bactéries après application du produit. On suppose que cette fonction vérifie, pour tout entier naturel \(n\) :

\(F(n) \in \mathbb{N}\).
\(F\) croissante.
\(F(F(n))=3 n\).

Partie A - Questions préliminaires :

«Pour tout entier naturel \(n, F(F(n))=3 n\) ». Quel élément du problème initial traduit cette affirmation?
«Pour tout entier naturel \(n, F(n) \in \mathbb{N}\) », on a donc \(F(0) \geqslant 0\). Quel élément du problème initial permet de justifier que ce constat subsiste pour tout entier naturel \(n\) non nul, à savoir que \(F(n) \geqslant n\) ?

Partie B ? Propagation des premières bactéries :

Justifier que \(F(F(0)) \geqslant F(0) \geqslant 0\) et en déduire que \(F(0)=0\). Interpréter le résultat.
a) Expliquer pourquoi \(F(n) \neq n\) pour \(n\) entier naturel non nul.
b) Expliquer pourquoi \(F(1) \neq 3\).
c) Justifier que \(1 \leqslant F(1) \leqslant 3\) et en déduire la valeur de \(F(1)\), puis celle de \(F(2), F(3)\) et \(F(6)\).
Déterminer la valeur de \(F(4)\), puis celle de \(F(5)\).

Partie A - Questions préliminaires :

«Pour tout entier naturel \(n, F(F(n))=3 n\) ». est une traduction de «S'il est utilisé deux fois de suite, il triple le nombre de bactéries initial ».
«Quand il est employé, le nombre de bactéries augmente».

Partie B? Propagation des premières bactéries :

On sait que, pour tout entier naturel \(n, F(n) \geqslant n\). Avec, successivement, \(n=F(0)\) puis \(n=0\), on a donc : \(F(F(0)) \geqslant F(0) \geqslant 0\). Or \(F(F(0))=3 \times 0=0\). Par suite, \(F(0)=0\).
S'il n'y a pas de bactérie, le produit est inutile.
a) Par l'absurde,

Si \(F(n)=n\), alors \(F(F(n))=F(n)\) ce qui conduit à \(3 \times n=n\) soit \(3=1\), ce qui soulève une contradiction. Ainsi, \(F(n) \neq n\).
b) Par l'absurde,

Si \(F(1)=3, F(F(1))=F(3)\) ce qui conduit à \(1 \times 3=F(3)\) soit \(F(3)=3\). Ceci contredit la question précédente qui permet d'affirmer que \(F(1) \neq 3\).
c) ) Avec le même raisonnement qu'en question B-1), \(F(F(1)) \geqslant F(1) \geqslant 1\) soit \(3 \geqslant F(1) \geqslant 1\).

Or, \(F(1) \neq .1\) (question B-2-a) ) et \(F(1) \neq 3\) (question B-2-b) ), on a donc ( \(F(n)\) étant un entier): \(F(1)=2\)

On sait maintenant que \(F(1)=2\), donc \(F(F(1))=F(2)\) soit \(3=F(2)\).
De même, \(F(3)=F(F(2))\), soit \(F(3)=6\)
De même, \(F(6)=F(F(3))\), soit \(F(6)=9\).
3. Montrons pour commencer que : «pour \(m\) et \(n\) deux entiers naturels distincts, \(F(n) ? \neq F(m) »\).

Par l'absurde,
\(\operatorname{Si} F(n)=F(m)\), alors \(F(F(n))=F(F(m))\), soit \(3 n=3 m\), ce qui aboutit à \(m=n\) ce qui soulève une contradiction.
\(3<4<5<6\) donc, par croissance de la fonction \(F\) et avec le résultat précédent, on peut affirmer que :
\(F(3) \(F(4)\) et \(F(5)\) étant des entiers, alors, nécessairement, \(F(4)=7\) et \(F(5)=8\).