Sujet
I - Préliminaires
Dans toute cette partie, \(q\) est un nombre réel appartenant à \(] 0,1[\). On considère la figure ci-contre formée de trois carrés.Le premier carré a pour côté 1. Le deuxième carré est une réduction du premier carré de coefficient \(q\) et le troisième carré est une réduction du deuxième carré de coefficient \(q\) également. Ainsi, le deuxième carré a pour côté \(q\) et le troisième carré a pour côté \(q^{2}\).
On se place dans le repère( \(O, \overrightarrow{O N_{1}} ; \overrightarrow{O A}\) )
- Montrer que les points \(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}\) et \(\mathrm{M}_{3}\) appartiennent à une même droite qu'on appellera \(\Delta\).
On poursuit la construction en construisant un quatrième carré qui est une réduction de coefficient \(q\) du troisième, et ainsi de suite jusqu'à un \(n^{\text {ième }}\) carré.
On a alors construit deux suites de points \(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{n}\) et \(\mathrm{N}_{1}, \mathrm{~N}_{2}, \ldots, \mathrm{~N}_{n}\).
2. Montrer que le point \(\mathrm{M}_{4}\) appartient à la droite \(\Delta\).
On pourrait montrer de la même façon que tous les points \(\mathrm{M}_{1}, \mathrm{M}_{2}, \ldots, \mathrm{M}_{n}\) appartiennent à \(\Delta\).
3. Déterminer une équation de \(\Delta\).
4. En déduire les coordonnées du point d'intersection I des droites \(\Delta\) et \(\left(\mathrm{ON}_{1}\right)\).
5. De quel point semble se rapprocher la suite des points \(\mathrm{N}_{n}\) si on répète indéfiniment la construction? Vers quoi tend la somme \(1+q+q^{2}+\cdots+q^{n ? 1}\) quand \(n\) tend vers l'infini ?
II - Le flocon de von Koch
En 1904, Helge von Koch (mathématicien suédois, 1870-1924) expose à la communauté scientifique une courbe fermée, sans point double (c'est-à-dire qui ne se coupe pas), bornée (c'est-à-dire contenue dans un cercle), admettant une aire finie et un périmètre infini !L'objectif de cette partie est d'étudier la construction de cette courbe, appelée flocon de von Koch, et de calculer l'aire de la surface délimitée par la courbe.
A.Construction du flocon
On considère un triangle équilatéral dont les côtés mesurent une unité. On divise chaque côté en trois parties égales puis on retire la partie centrale et on construit un triangle équilatéral à la place (en se développant à l'extérieur du triangle). On recommence ensuite l'opération avec les triangles équilatéraux obtenus à l'étape précédente :
Figure 1
Figure 2
Figure 3
Figure 4
I - Préliminaires
- Dans le repère; \(\left(O ; \overrightarrow{O N_{1}}, \overrightarrow{O A}\right), \mathrm{M}_{1}\) a pour coordonnées \((1 ; 1), \mathrm{M}_{2}\) a pour coordonnées \((1+q ; q)\) et \(\mathrm{M}_{3}\) a pour coordonnées \(\left(1+q+q^{2} ; q^{2}\right)\).
On en déduit que le vecteur \(\overrightarrow{M_{1} M_{2}}\) a pour coordonnées \((q ; q-1)\) et que le vecteur \(\overrightarrow{M_{1} M_{3}}\) a pour coordonnées \(\left(q+q^{2} ; q^{2}-1\right)\). Comme \(\overrightarrow{M_{1} M_{3}}=(1+q) \overrightarrow{M_{1} M_{2}}\), les vecteurs \(\overrightarrow{M_{1} M_{2}}\) et \(\overrightarrow{M_{1} M_{3}}\) sont colinéaires et donc \(\mathrm{M}_{1}\), \(\mathrm{M}_{2}\) et \(\mathrm{M}_{3}\) appartiennent à la même droite \(\Delta\). - Dans le repère \(\left(O ; \overrightarrow{O N_{1}}, \overrightarrow{O A}\right), \mathrm{M}_{4}\) a pour coordonnées \((1+q+q 2+q 3 ; ; q 3)\).
On en déduit que le vecteur \(\overrightarrow{M_{1} M_{4}}\) a pour coordonnées \(\left(1+q+q^{2}+q^{3} ; q^{3}-1\right)\). Comme \(\overrightarrow{M_{1} M_{4}}=(1+q+ \left.q^{2}\right) \overrightarrow{M_{1} M_{2}}\), les vecteurs \(\overrightarrow{M_{1} M_{2}}\) et \(\overrightarrow{M_{1} M_{4}}\) sont colinéaires donc \(\mathrm{M}_{4}\) appartient à \(\Delta\).
3. La droite \(\Delta\) passe par le point \(\mathrm{M}_{1}\) de coordonnées ( \(1 ; 1\) ) et a pour vecteur directeur \(\overrightarrow{M_{1} M_{2}}\). On en déduit que \(\Delta\) a pour équation
\[ y=\frac{q-1}{q} x+\frac{1}{q} . \]
- En résolvant l'équation \(0=\frac{q-1}{q} x+\frac{1}{q}\), on obtient \(x=\frac{1}{1-q}\).
Donc I a pour coordonnées \(\left(0 ; \frac{1}{1-q}\right)\).
5. Les points \(\mathrm{N}_{n}\) semblent se rapprocher du point I .
Comme \(\mathrm{N}_{n}\) a pour coordonnées \(\left(0 ; 1+q+q^{2}+\cdots+q^{n}\right)\), on en déduit que :
\[ 1+q+q^{2}+\cdots+q^{n}+q^{n+1}+\cdots=\frac{1}{1-q} \]
II - Le flocon de von Koch
Aire du flocon
- a) On considère le triangle équilatéral de côté 1 . Son aire est \(a_{1}=\frac{\sqrt{3}}{4}\) (en utilisant le théorème de Pythagore).
b) A l'étape 2 , on a ajouté 3 triangles de dimension 3 fois plus petite et donc d'aire \(3^{2}=9\) fois plus petite.
On obtient :
\[ a_{2}=a_{1}+3 \times \frac{a_{1}}{9}=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{3 \sqrt{3}}{36}=\frac{12 \sqrt{3}}{36}=\frac{\sqrt{3}}{3} . \]
c) A l'étape 3 , on a ajouté 12 triangles de dimension 9 fois plus petite et donc d'aire \(9^{2}=81\) fois plus petite. On obtient:
\[ a_{3}=a_{2}+12 \times \frac{a_{0}}{81}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{12 \sqrt{3}}{81 \times 4}=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{27}=\frac{10 \sqrt{3}}{27} . \]