Sujet
Soient C un point quelconque sur le segment \([\mathrm{AB}]\) et trois demi-cercles de diamètres \([\mathrm{AB}],[\mathrm{AC}]\) et \([\mathrm{CB}]\) situés du même coté du segment [AB].
On considère D le point d'intersection de la perpendiculaire à \([\mathrm{AB}]\) passant par C avec le demi-cercle de diamètre [AB].
[0pt]
L'arbelos (partie hachurée sur la figure ci-dessous) est la figure constituée du demi-disque de diamètre [ AB ] privé des deux demi-disques de diamètres [AC] et [CB].
Rappel: l'aire d'un disque de rayon \(r\) est : \(A=\pi r^{2}\).
- a) Déterminer l'aire de l'arbelos (partie hachurée) en fonction de \(A C\) et \(C B\).
b) Démontrer que \(D C^{2}=A C \times C B\).
[0pt] c) Démontrer que l'aire de l'arbelos est égale à l'aire du disque de diamètre [DC].
(Cette propriété est la première énoncée par Archimède.) - On considère maintenant la figure cicontre où \(\mathrm{O}, \mathrm{I}, \mathrm{J}\) et K sont les milieux respectifs des segments [AB], [AC], [CB] et [CD] et M et N sont les points d'intersection du cercle de diamètre [CD] avec les demi-cercles de diamètres [AC] et [CB] distincts de C.
[0pt] Démontrer que la droite (MN) est une tangente commune aux deux demi-cercles de diamètres [AC] et [CB].
- a) \(\mathrm{A}_{\text {Arbelos }}=\frac{\frac{\pi}{4}\left(A B^{2}-A C^{2}-C B^{2}\right)}{2}=\frac{\pi}{8}\left((A C+C B)^{2}-A C^{2}-C B^{2}\right)=\frac{\pi}{4} A C \times C B\).
b) En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ADB , ACD et BCD , on obtient :
\[ A B^{2}=A D^{2}+B D^{2} \quad A D^{2}=A C^{2}+C D^{2} \quad B D^{2}=C D^{2}+B C^{2} . \]
D'où
\(A B^{2}=A D^{2}+B D^{2}=A C^{2}+C D^{2}+C D^{2}+B C^{2}\)
\(2 C D^{2}=A B^{2}-A C^{2}-B C^{2}\)
\(2 C D^{2}=(A C+B C)^{2}+A C^{2}-B C^{2}\)
Soit \(D C^{2}=A C \times C B\).
c) \(\mathrm{A}_{\text {Arbelos }}=\frac{\pi}{4} A C \times C B=\frac{\pi}{4} C D^{2}=\mathrm{A}_{\text {disque de diamètre[ } \mathrm{BC} \text { ] }}\)
2. Il est évident que \(\mathrm{ADB}, \mathrm{DMC}\) et DNC sont rectangles, donc MDNC est un rectangle.
D' où \(E M=E C\).
De plus \(I M=I C\) donc ( \(E I\) ) est la médiatrice de [MC].
On en déduit que IEC et IEM sont symétriques par rapport à (IE).
Or une symétrie axiale conserve les angles donc IME est rectangle en M.
On démontre de même que ENJ est rectangle en N.
Donc ( \(M N\) ) passe par M et N et est orthogonale à un rayon de ces demi-cercles en ces points. On en déduit que \((M N)\) est une tangente commune aux deux demi-cercles de diamètres [AC] et [CB].
[0pt]
3. On trace ensuite deux petits cercles tangents à [CD] et tangents au bord de l'arbelos comme ci-dessous.
