Exercice 3 — Stratégie de jeu

Sujet

Un jeu de Pile ou Face est organisé avec les règles suivantes :

• le joueur peut mettre initialement en jeu la mise qu'il souhaite ;
• s'il perd la partie, il perd aussi sa mise ;
• s'il gagne la partie il récupère sa mise et gagne aussi l'équivalent de cette mise.

La pièce utilisée est bien équilibrée, et on a une chance sur deux d'obtenir Pile ou Face.

Un joueur décide d'adopter la stratégie suivante quelle que soit la somme dont il dispose au départ :

• il mise \(1 €\) pour la première partie
• après chaque partie perdue, il augmente la mise de \(1 €\) à la partie suivante ;
• après chaque partie gagnée, il diminue la mise de \(1 €\) à la partie suivante, ou la mise reste à \(1 €\) si on n'avait misé qu'un euro ;
• si la somme de départ est épuisée ou si on ne dispose plus de la somme suffisante pour appliquer cette stratégie, le jeu s'arrête pour ce joueur.
  On donne ci-dessous des exemple de situations de jeu, avec une somme de départ de 5 €.
  P signifie que la partie est perdue; G signifie que la partie est gagnée.
  Dans les tableaux suivants, la partie numéro 0 correspond à la situation au début du jeu.

Situation 1

Numéro de la partie	0	1	2	3	4
Résultat		G	P	P	P
Mise pour la partie suivante	1	1	2	3	4
Somme restante	5	6	5	3	0

Le jeu s'arrête

Situation 2

Numéro de la partie	0	1	2	3	4
Résultat		P	P	G	G
Mise pour la partie suivante	1	2	3	2	1
Somme restante	5	4	5	5	7

Le jeu peut continuer

Pour toute la suite de l'exercice, le joueur décide d'appliquer cette stratégie.

1. Dans situation 2 :
   a) de quelle somme disposerait le joueur s'il gagnait la partie suivante ?
   b) de quelle somme disposerait le joueur s'il perdait la partie suivante?
2. Dans un premier temps, le joueur décide d'être prudent :

Il dispose d'une somme de \(6 €\) et décide de ne jouer que trois parties.