Sujet
Le but de l'exercice est de recouvrir entièrement et sans chevauchement un polygone \(\Delta(n)\) en escalier de \(n\) colonnes et de \(n\) lignes avec des blocs « \(L »\) ou « anti- \(L »\) qu'il est impossible de tourner, et que l'on doit absolument disposer comme indiqué ci-dessous. On dit alors que ce polygone est pavable.
L'aire de chaque carré bleu est égale à 1 (elle représente l'unité d'aire).
- En justifiant à l'aide d'un dessin, étudier si \(\Delta(2), \Delta(3)\) sont pavables.
- Expliquez pourquoi on est sûr que \(\Delta(4)\) ne sera pas pavable.
- Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 1 . Justifier que si \(\Delta(n)\) est pavable, alors l'aire de \(\Delta(n)\) doit être divisible par 3.
- Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 1 .
Justifier que l'aire de \(\Delta(n)\) est égale à \(\frac{n^{2}+n}{2}\).
5. En déduire que \(\Delta(13)\) n'est pas pavable.
6. À traiter uniquement par les élèves de S
On souhaite démontrer que tous les polygones \(\Delta(3 k+1)\) avec \(k \in \mathbb{N}\) ne sont pas pavablesa) Soit \(k \in \mathbb{N}\). Montrer que \((3 k+1)^{2}+(3 k+1)\) n'est pas divisible par 3 .
b) En déduire que tous les polygones \(\Delta(3 k+1)\) avec \(k \in \mathbb{N}\) ne sont pas pavables.
Nous allons maintenant former des blocs «up» et des blocs « down» à l'aide d'un bloc \(L\) et d'un bloc anti- \(L\), comme indiqué ci-dessous.
Les question 6, 10, 11 et 12 seront à traiter par les candidats de la série S uniquement
7. A l'aide d'un dessin, démontrer que \(\Delta(9)\) est pavable.
8. A partir du dessin précédent, en déduire que \(\Delta(11)\) et \(\Delta(12)\) sont pavables.
9. En utilisant le pavage de \(\Delta(12)\) et \(\Delta(2)\) sur un même dessin ou par tout autre méthode, démontrer qu'on aura \(\Delta(12+2)\) pavable.
La suite de l'exercice est à traiter uniquement par les élèves de S
- On suppose que \(\Delta(n)\) et \(\Delta\left(n^{\prime}\right)\) sont pavables.
Justifier les 2 conditions suivantes :
- Si \(n\) est divisible par 2 et \(n^{\prime}\) divisible par 3, alors \(\Delta\left(n+n^{\prime}\right)\) est pavable.
- Si \(n\) est divisible par 3 et \(n^{\prime}\) divisible par 2, alors \(\Delta\left(n+n^{\prime}\right)\) est pavable.
- En déduire que tous les \(\Delta(12+m)\) avec \(k \in \mathbb{N}\) et, \(m=0\) ou \(m=2\) ou \(m=9\) ou \(m=11\), sont pavables.
- \(\Delta(2016)\) est-il pavable?
- \(\Delta(2)\) est pavable et \(\Delta(3)\) est non pavable.
- \(\Delta(4)\) ne sera pas pavable car l'aire de \(\Delta(4)\) n'est pas un multiple de 3 .
- L'aire totale du polygone \(\Delta(n)\) doit être remplissable par des blocs «L» ou << anti-L>> de trois cases; l'aire totale de \(\Delta(n)\) doit donc être divisible par 3 .
- L'aire du carré de côté \(n\) est \(n^{2}\). En le divisant par 2 , on obtient une aire de \(\frac{n^{2}}{2}\); il ne nous reste que des moitiés de \(n\) carreaux.
Il y a n moitiés de carreaux, donc \(\frac{n}{2}\) carreaux en plus; l'aire totale est donc de \(\frac{n^{2}+n}{2}\). - L'aire de \(\Delta(13)\) est de \(\frac{13^{2}+13}{2}=91\) et \(91=3 \times 30+1\) donc l'aire de \(\Delta(13)\) n'est pas divisible 3 .
Il ne peut donc pas être pavable.
6. a) \(3(k+1)^{2}=3\left(3 k^{2}+3 k\right)+2\) donc \((3 k+1)^{2}+3 k+1\) n'est pas divisible par 3 .
b) \((3 k+1)^{2}+3 k+1\) n'est pas divisible par 3
donc \((3 k+1)^{2}+3 k+1\) n'est pas divisible par 6 .
On en déduit l'aire de \(\Delta(3 k+1)\) n'est pas divisible par 3 . Ainsi, tous les \(\Delta(3 k+1)\) avec \(k \in \mathrm{~N}\) ne sont pas pavables.
7. \(\Delta\) (9) est pavable
8. On peut ajouter au \(\Delta(9)\) une colonne de blocs «up» ou bien une colonne de blocs «down»créant ainsi \(\Delta(11)\) et \(\Delta(12)\) pavables.
9. En mettant le pavage de \(\Delta(2)\) et \(\Delta(12)\) ) sur un même dessin, on obtient un rectangle vide de hauteur 2 et de largeur 12 qu'il suffit de compléter avec 4 Blocs «down».
10. Si \(n\) est divisible par 2 (respectivement par 3 ) et \(n^{\prime}\) divisible par 3 (respectivement par 2 ) alors, en mettant \(\Delta(n)\) et \(\Delta\left(n^{\prime}\right)\) sur un même dessin, on obtient un rectangle vide que l'on pourra compléter avec des blocs «up» ou des blocs «down». Ainsi, \(\Delta(n+n\) ?) sera pavable.
Les question 6, 10, 11 et 12 seront à traiter par les candidats de la série S uniquement