Sujet
On considère une grille carrée dont chaque côté présente \(n\) cases ( \(n\) entier supérieur ou égal à 2 ). Chaque case est repérée par ses coordonnées de la forme (ligne , colonne). Avec \(n=3\), la grille est donc :
| Case \((1,1)\) | Case \((1,2)\) | Case \((1,3)\) |
| Case \((2,1)\) | Case \((2,2)\) | Case \((2,3)\) |
| Case \((3,1)\) | Case \((3,2)\) | Case \((3,3)\) |
On place \(n\) jetons dans la grille de sorte que chaque ligne et chaque colonne contienne exactement un jeton. On obtient alors une grille qualifiée de valable :
grille valable
grille non valable
- Dans cette question, on considère une grille de côté \(n\) et on souhaite compter, en fonction de \(n\), le nombre de grilles valables que l'on peut former.
Pour former une grille valable, on suppose que l'on place d'abord un jeton sur la première ligne, puis un deuxième jeton sur la deuxième, et ainsi de suite jusqu'à la dernière ligne.
(a) Combien de possibilités a-t-on pour placer le premier jeton? Et pour placer le second?
(b) Au total combien existe-t-il de grilles valables ? On pourra donner le résultat en fonction de \(n\) et sous forme d'un produit. - Une question intermédiaire.
On veut calculer la somme \(1+2+\cdots+n\). Cette somme est égale au nombre de croix dans le schéma suivant :
Combien ce schéma compte-t-il de symboles en tout (croix + ronds)?
En déduire que \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).
- (a) On peut placer le premier jeton où l'on souhaite sur la première ligne : \(n\) possibilités.
Pour placer le second jeton, on a une possibilité de moins car il ne faut pas le placer sur la même colonne que le premier jeton : \(n-1\) possibilités.
(b) En poursuivant le raisonnement précédent jusqu'à la dernière ligne, on obtient :
\[ n \times(n-1) \times(n-2) \times \cdots \times 2 \times 1 \text { possibilités } . \]
- Une question intermédiaire.
Le schéma comporte \(n\) lignes et \(n+1\) colonnes. Donc \(n(n+1)\) symboles au total.
De plus, il y a autant de croix que de ronds dans ce schéma, donc le nombre de croix est \(\frac{n(n+1)}{2}\).
Conclusion : \(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\).
3. Dans cette question, on numérote les cases de la grille de 1 à \(n^{2}\). Avec \(n=3\), la grille est donc :
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
On place ensuite des jetons pour obtenir une grille valable et on note \(S\) la somme des nombres des cases occupées.
a) Conjecture
Peu importe la façon dont on place les jetons, la somme vaut 15 .
b) On appelle \(N(i, j)\) le nombre figurant dans la case ( \(i, j\) ) de la grille numérotée.
i) La première ligne contient les nombres \(1,2, \ldots, n\). On peut donc écrire \(N(1, j)=j\).
ii) Lorsqu'on passe d'une case à celle située juste en dessous, on ajoute \(n\), donc :
\[ \left\{\begin{array}{l} N(1, j)=j \\ N(2, j)=N(1, j)+n=n+j \\ N(3, j)=N(2, j)+n=2 n+j \end{array}\right. \]