Exercice 3 — Les réseaux sociaux

1. a) Justifier que le 2 janvier, le cercle de Marc compte 6 amis.

Le 2 janvier, le cercle de Marc compte ses deux «anciens» amis du \(1^{\text {er }}\) janvier ainsi que \(2 \times 2\) nouveaux amis, soit un total de 6 .
b) Combien d'amis compte le cercle de Marc le 3 janvier ? le 4 janvier ? le 5 janvier ?

Le 3 janvier, 6 anciens \(+2 \times 4\) nouveaux, soit 14 amis.
Le 4 janvier, 14 anciens \(+2 \times 8\) nouveaux, soit 30 amis.
Le 5 janvier, 30 anciens \(+2 \times 16\) nouveaux, soit 62 amis.
2. On utilise un tableur pour remplir le tableau suivant. Quelle formule doit-on renter dans la cellule D2 pour, ensuite, la recopier vers la droite?

\(D 2=C 2+2 *(C 2-B 2)\)
3. Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , on note \(A(n)\) le nombre d'amis que compte le cercle de Marc au jour n de l'année. A l'aide de la question 2, expliquer la relation suivante : \(A(n+2)=3 A(n+1)-2 A(n)\).

\[ A(n+2)=\underbrace{A(n+1)}_{\text {anciens }}+\underbrace{2 \times A(n+1)-A(n))}_{\text {nouveaux }}=3 A(n+1)-2 A(n) \]

1. a) A l'aide des questions précédentes, compléter l'instruction manquante dans l'algorithme ci-dessous qui permet d'afficher le nombre d'amis que compte le cercle de Marc pour un jour n donné par l'utilisateur.

Variables : n est un entier supérieur ou égal à 3
    i;u;v et a sont des entiers
Traitement : Demander à l'utilisateur la valeur de n.
    u prend la valeur 2
    v prend la valeur 6
    Pour i allant de 3 à n
        a prend la valeur 3*v-2*u.
        u prend la valeur v
        v prend la valeur a
    FinPour
Sortie : Afficher a

b) Écrire un algorithme qui permet d'afficher à partir de quel jour, le cercle de Marc aura dépassé un nombre \(N\) d'amis donné à saisir par l'utilisateur.

Variables : \(\quad i, u, v, n, N\) et \(a\) sont des entiers
Traitement : Demander à l'utilisateur la valeur de \(N\).
    \(u\) prend la valeur 2
    \(v\) prend la valeur 6
    \(n\) prend la valeur 1
    TantQue \(u \leqslant N\)
        \(a\) prend la valeur \(3 * v-2 * u\).
        \(u\) prend la valeur \(v\)
        \(v\) prend la valeur \(a\)
        \(n\) prend la valeur \(n+1\)
    FinTantQue
Sortie : Afficher \(n\)

1. On admet que pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 , on a : \(A(n)=a \times 2^{n}+b\).

Déterminer les valeurs des réels \(a\) et \(b\).
Pour \(n=1, A(n)=a \times 2^{1}+b=2\).
Pour \(n=2, A(n)=a \times 2^{2}+b=6\).
D'où le système \(\left\{\begin{array}{l}2 a+b=2 \\ 4 a+b=6\end{array}\right.\) dont les solutions sont \(a=2\) et \(b=-2\).
Ainsi, pour tout \(n \geqslant 1, A(n)=2 \times 2^{n}-2=2^{n+1}-2\).
6. Théoriquement, sachant que la France dénombrait 66,3 millions d'habitants au \(1^{\text {er }}\) janvier 2015, à partir de quel jour Marc pourrait-il prétendre avoir pour amis l'équivalent au moins de toute la population française?
On cherche \(n\) tel que \(A(n) \geqslant 66,3 \times 10^{6}\), soit \(2^{n+1}-2 \geqslant 66,3 \times 10^{6}\), ce qui revient à \(2^{n+1} \geqslant 66300002\), soit \(2^{n} \geqslant 33150001\).
Or \(2^{24}=16777216\) et \(2^{25}=33554432\).
Donc \(A(n) \geqslant 66,3 \times 10^{6}\) à partir de \(n=25\).
Ainsi, à partir du 25 janvier, Marc pourrait prétendre avoir pour amis l'équivalent au moins de toute la population française.