Sujet
Un stand de fête foraine propose aux passants de tirer successivement deux boules dans un sac composé de boules noires et blanches. Les boules sont numérotées à partir de 1 dans chaque couleur. Le passant gagne s'il tire deux boules de couleurs différentes, peu importe la couleur.
Le forain souhaiterait que le passant ait plus de chances de perdre, alors que le passant souhaiterait avoir plus de chance de gagner. Nous allons nous intéresser à la situation équitable (hors mise et prix) où les deux protagonistes visent une probabilité de gagner de \(\frac{1}{2}\).
Le but de cet exercice est de connaître le contenu d'un sac qui permette d'atteindre cette probabilité de \(\frac{1}{2}\). On note \(n\) le nombre total de boules dans le sac et \(a\) le nombre de boules blanches. ( \(n\) et \(a\) sont des entiers naturels tels que \(2 \leqslant a \leqslant n\).)
Toutes les compositions d'un sac ne permettent pas d'atteindre cet objectif. En effet, un sac composé de quatre boules noires et deux boules blanches (on a donc \(n=6\) et \(a=2\) ) donne une probabilité de gagner de \(\frac{8}{15}\).
Les tirages possibles sont :
La notation B2-N3 signifie qu'on a tiré la boule blanche \(\mathrm{n}^{\circ} 2\) au premier tirage puis la boule noire \(\mathrm{n}^{\circ} 3\) au second tirage.
- Parmi les sacs suivants, quels sont ceux pour lesquels la probabilité que le passant gagne est \(\frac{1}{2}\) ?
- Établissons deux résultats préliminaires pour la suite de l'étude.
- Seule la répartition 3 boules blanches / 1 boule noire convient (par description complète des tirages).
- Ce sont des questions classiques de dénombrement
a) On tire deux boules successivement et sans remise dans un sac contenant \(n\) boules. Donner le nombre de tirages distincts possibles en fonction de \(n\).
\(n\) boules au premier tirage; \(n-1\) au tirage suivant, donc \(n\) ??( \(n-1\) ) tirages.
b) Un sac contient \(n\) boules dont a blanches, le reste étant des noires. On extrait successivement et sans remise deux boules de ce sac. Combien y a-t-il de tirages avec deux boules de couleurs différentes en fonction de \(n\) et a?
En raisonnant par couleur, il y a \(2 a(n-a)\) tirages bicolores. - Un passant arrive sur un stand où il y a un sac avec 10 boules, mais il ne connait pas la répartition entre boules rouges et boules noires. En étudiant toutes les répartitions possibles, est-il possible que ce passant ait une probabilité de gagner égale à \(\frac{1}{2}\) ? Et si le sac contenait seulement 9 boules.
En dénombrant les tirages à l'aide des formules précédentes, on remarque qu'aucune répartition ne fonctionne pour 10 boules, mais que c'est possible avec la répartition 6 noires / 3 blanches (ou le contraire) dans une urne à 9 boules. - Étude du cas général. Le sac contient \(n\) boules, dont \(a\) noires.
a) Déterminer, en fonction de \(n\) et \(a\), la probabilité \(p(a ; n)\) que le passant gagne.
En utilisant les résultats de la question \(3, p(a ; n)=\frac{2 a(n-a)}{n(n-1)}\).
b) Montrer que l'équation \(p(a ; n)=\frac{1}{2}\) est équivalente à \(4 a^{2}-4 n a+n(n-1)=0\).
Simple calcul
c) En considérant que l'inconnue est \(a\), résoudre cette équation.
L'étude du polynôme du second degré donne \(a=\frac{n \pm \sqrt{n}}{2}\)
d) Quelle caractéristique doit avoir le nombre \(n\) pour que l'équation \(p(a ; n)=\frac{1}{2}\) admette des solutions ? Comment peut alors être composée l'urne pour répondre au problème posé ?
\(n\) doit être un carré \(n=q^{2}\). L'urne doit alors être composée de \(a=\frac{q(q \pm 1)}{2}\) boules blanches et \(n-a=\frac{q(q \mp a)}{2}\). Il y a, par symétrie, deux urnes possibles.