Exercice 1 — Numération des plaques

Partie A :

Cas particulier :

1. Pour écrire les 99 numéros, il faut écrire d'abord les 9 chiffres de 1 à 9 puis écrire les 90 nombres à deux chiffres de 10 à 99 . Il nous faut alors \(189=2 \times 10^{2}-11\).
2. Pour écrire les 999 numéros, il faut écrire les 99 chiffres de 1 à 99 , puis écrire les 900 nombres à trois chiffres de 100 à 999 . Il nous faut alors \(189+2700=3 \times 10^{3}-111\).
3. L'écriture des 708 numéros : il faut écrire d'abord les 99 nombres de 1 à 99 puis écrire les 609 nombres à trois chiffres de 100 à 708 . Il nous faut alors \(189+609 \times 3=2016\) chiffres.

Généralisation :

1. \(M\) est un entier naturel de n chiffres, il existe alors \(a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_{1}, a_{0}(n-1)\) entiers tels que

\[ M=a_{n-1} 10_{n-1}+\cdots+10 a_{1}+a_{0} \text { avec } a_{n-1} \neq 0 . \]

Comme \(a_{n-1}>0\) et tous les nombres \(a_{i}(0 \leqslant i \leqslant n-2)\) sont positifs ou nuls, alors \(10^{n-1} \leqslant a_{n-1} 10^{n-1} \leqslant M\).
2. Entre \(10^{k-1}\) et \(\left(10^{k}-1\right)\), il y a \(\left(10^{k}-10^{k-1}\right)\) nombres et chacun est constitué de \(k\) chiffres, pour \((0 \leqslant k \leqslant n-1\) ). Pour écrire alors tout les nombres de 1 à \(10^{n-1}\), il nous faut \(N_{n-1}\) chiffres avec :

\[ N_{n-1}=\left(10^{n-1}-10^{n-2}\right)(n-1)+\left(10^{n-2}-10^{n-3}\right)(n-2)+\cdots+2\left(10^{2}-10\right)+(10-1) . \]

En développant cette expression et avec une télescopie on a :

\[ \begin{aligned} & N_{n-1}=10^{n-1}(n-1)-10^{n-2}-10^{n-3}-\cdots-10^{2}-10-1 \\ \Leftrightarrow & N_{n-1}=10^{n-1}(n-1)-\left[10^{n-2}+10^{n-3}+\cdots+10^{2}+10+1\right] . \end{aligned} \]

Le nombre \(\left[10^{n-2}+10^{n-3}+\cdots+10^{2}+10+1\right]=111 \ldots 111\) est constitué de ( \(n-1\) ) fois le chiffre 1 donc

\[ N_{n-1}=10^{n-1}(n-1)-111 \ldots 1111 . \]

1. Entre \(10^{n-1}\) et \(M\) il y a \(M-10^{n-1}+1\) nombres constitués de \(n\) chiffres, le nombre de chiffres nécessaire à l'écriture de \(10^{n-1}\) à \(M\) est \(\left(M-10^{n-1}+1\right) n\)
2. D'après les deux dernières questions, pour écrire les nombres de 1 à \(M\), il faut écrire les \(M_{n}\) chiffres avec

\[ \begin{gathered} M_{n}=\left(M-10^{n-1}+1\right) n+N_{n-1} \\ \Leftrightarrow M_{n}=(M+1) n ? n 10^{n-1}+10^{n-1}(n-1)-111 \ldots 1111 \\ \Leftrightarrow M_{n}=(M+1) n-\left(10^{n-1}+111 \ldots 111\right) \end{gathered} \]

Le nombre \(111 \ldots 111\) comporte ( \(n-1\) )fois le chiffre 1 et le nombre \(10^{n-1}\) est constitué de \(n\) chiffres dont le premier est 1 et les autres 0 , le nombre \(\left(10^{n-1}+111 \ldots 111\right)\) est donc formé de \(n\) fois le chiffre 1 donc :

\[ M_{n}=(M+1) n-1111 \ldots 111 . \]

Le dernier terme est formé de \(n\) fois le chiffre 1 .