Sujet
Annia fête son anniversaire et vient le moment où on la sollicite pour partager le gâteau.
D'humeur joueuse, Annia s'apprête à découper ce gâteau au hasard et à s'en remettre à la chance pour assurer l'équité du partage.
Le gâteau a la forme d'un carré, et il est décoré d'un quadrillage régulier de \(m\) carreaux sur \(m\) carreaux.
Exemple : avec \(m=8\)
Partie A
Annia a un seul invité.[0pt] Annia choisit au hasard, parmi les points du quadrillage situés sur le pourtour du gâteau, un couple (A;B) de points distincts, situés sur des côtés différents, et coupe le gâteau suivant le segment [AB].
- On suppose que \(m=3\).
a) Existe-t-il un choix du couple de points (A; B) permettant d'obtenir deux parts égales ?
b) Combien y a-t-il de tels choix possibles?
c) Annia choisissant au hasard le couple de points (A; B), quelle est la probabilité pour que le partage soit équitable?
- On suppose maintenant que m est un entier quelconque, supérieur ou égal à 3 .
a) Annia choisissant au hasard le couple de points (A;B), quelle est la probabilité pour que le partage soit équitable?
b) Déterminer la (ou les) valeur(s) de \(m\) pour lesquelles la probabilité d'obtenir un partage équitable est supérieure ou égale à 0,1 , puis supérieure ou égale à 0,05 .
Partie A
- On suppose que \(m=3\). On nomme les points comme sur la figure ci-contre.
a) Bien sûr, on obtient un partage équitable si on choisit un couple de points correspondant à une diagonale du carré.
b) Les points A et B doivent être distincts et sur des côtés différents.
Il y a deux cas de figure à distinguer :
- A et B sont sur des côtés consécutifs
- A et B sont sur des côtés opposés et aucun n'est un som-
met du carré.
Pour fixer les choses, on se limite aux cas où le point A est confondu avec \(\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}\) ou \(\mathrm{A}_{3}\).
Cas \(\mathbf{n}^{\circ} \mathbf{1}\) : A et B définissent deux parts dont l'une est triangulaire. Si \([\mathrm{AB}]\) est une diagonale du carré, le partage est équitable, sinon l'aire de la part triangulaire est strictement inférieure à la moitié de l'aire du rectangle, et donc le partage n'est pas équitable.
Cas \(\mathbf{n}^{\mathbf{0}} \mathbf{2}\) : il n'y a que deux cas-type à envisager :
- par exemple \(\mathrm{A}=\mathrm{A}_{1}\) et \(\mathrm{B}=\mathrm{C}_{2}\) : on a un partage en \(\frac{1}{3} ; \frac{2}{3}\), non équitable ou
- par exemple \(\mathrm{A}=\mathrm{A}_{1}\) et \(\mathrm{B}=\mathrm{C}_{1}\) : le partage est équitable.
En conclusion : il n'y a que deux dispositions où le partage est équitable.
Si A est confondu avec \(\mathrm{A}_{1}, \mathrm{~A}_{2}\) ou \(\mathrm{A}_{3}\) ces deux dispositions correspondent aux trois cas suivants :
On a encore trois telles configurations si \(\mathrm{A} \in \mathrm{B}_{1} ; \mathrm{B}_{2} ; \mathrm{B}_{3}\), si \(\mathrm{A} \in \mathrm{C}_{1} ; \mathrm{C}_{2} ; \mathrm{C}_{3}\), si \(\mathrm{A} \in \mathrm{D}_{1} ; \mathrm{D}_{2} ; \mathrm{D}_{3}\), soit au total : \(\mathbf{1 2}\) couples définissant un partage équitable.
c) Annia choisit au hasard le couple de points (A; B), on est donc dans un cas d'application de la formule des probabilités uniformes.