On souhaite colorier les nombres rationnels strictement positifs avec deux couleurs : en rouge ou en bleu. Chaque nombre ne peut être colorié qu'une fois.
On donne les règles suivantes :
On admet qu'avec ces règles, tout nombre rationnel strictement positif a un unique coloriage.
Que peut-on dire de la couleur de \(x+n\) où \(n\) est un entier naturel?
3. Quelle est la couleur de \(\frac{2016}{2015}\) ? Quelle est la couleur de \(\frac{4}{13}\) ?
4. a) La règle «la somme de deux nombres rouges est un nombre bleu» est-elle vraie ?
b) La règle «la somme de deux nombres bleus est un nombre rouge» est-elle vraie ?
5. A l'aide de l'égalité (admise) \(\frac{235}{68}=3+\frac{1}{2+\frac{1}{5+\frac{1}{6}}}\) ), déterminer rapidement la couleur de \(\frac{235}{68}\).
6. On donne l'algorithme suivant :
Début
| Lire \(a\)
| Lire \(b\)
| \(c \leftarrow 0\)
| Tant que \(b \neq 0\) faire
\(q \leftarrow\) quotient dans la division euclidienne de \(a\) par \(b\)
\(c \leftarrow c+q\)
\(r \leftarrow\) reste dans la division euclidienne de \(a\) par \(b\)
\(a \leftarrow b\)
\(b \leftarrow r\)
Fin tant que
Si \(c\) est pair alors
Afficher « fraction Bleue »
Sinon
Afficher « fraction Rouge »
Fin Si
Fin
1 est rouge, 2 est bleu, 3 est rouge, 4 est bleu,...
Si \(n\) est pair alors \(n\) est bleu, sinon \(n\) est rouge. Donc 2016 est bleu.
2. Que peut-on dire de la couleur de \(x+n\) où \(n\) est un entier naturel?
Soit \(x\) un nombre rationnel positif.
Si \(n\) est pair, on change de couleur un nombre pair de fois donc \(x+n\) et \(x\) sont de la même couleur.
Si \(n\) est impair, on change de couleur un nombre impair de fois donc \(x+n\) et \(x\) sont de couleurs différentes.
3. Quelle est la couleur de \(\frac{2016}{2015}\) ? Quelle est la couleur de \(\frac{4}{13}\) ?
\(\frac{2016}{2015}=1+\frac{1}{2015}\). Or, 2015 est rouge donc \(\frac{1}{2015}\) est aussi rouge et \(1+\frac{1}{2015}\) est bleu.
\(\frac{4}{13}\) a la même couleur que \(\frac{13}{4}=3+\frac{1}{4}\). Or \(\frac{1}{4}\) est bleu donc \(3+\frac{1}{4}\) est rouge donc \(\frac{4}{13}\) est rouge.
4. a) «La somme de deux nombres rouges est un nombre bleu»? Non. On a bien \(1+1=2\) (rouge + rouge \(=\) bleu) mais on a aussi \(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\) (rouge + rouge) et \(\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}\) qui est rouge.
b) «La somme de deux nombres bleus est un nombre rouge»? Non. On a bien \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\) (bleu + bleu \(=\) rouge), mais on a aussi \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\) (bleu + bleu) qui a la même couleur que \(\frac{4}{3}=1+\frac{1}{3}\) (bleu).
5. A l'aide de l'égalité (admise) \(\frac{235}{68}=3+\frac{1}{2+\frac{1}{5+\frac{1}{6}}}\) ), déterminer rapidement la couleur de \(\frac{235}{68}\). \(\frac{1}{6}\) est bleu, \(5+\frac{1}{6}\) est rouge, \(2+\frac{1}{5+\frac{1}{6}}\) est rouge, \(3+\frac{1}{2+\frac{1}{5+\frac{1}{6}}}\) est bleu. Donc \(\frac{235}{68}\) est bleu.
6. On applique l'algorithme avec \(a=235\) et \(b=68\) (c'est en fait l'algorithme d'Euclide) :
| \(a\) | \(b\) | quotient | reste | égalité | \(c\) |
| 235 | 68 | 3 | 31 | \(235=3 \times 68+31\) | 3 |
| 68 | 31 | 2 | 6 | \(68=2 \times 31+6\) | 5 |
| 31 | 6 | 5 | 1 | \(31=5 \times 6+1\) | 10 |
| 6 | 1 | 6 | 0 | \(6=6 \times 1\) | 16 |
\(c=16\) est pair, l'algorithme donne bien la couleur de \(\frac{235}{68}\).