Sujet
Deux fourmis, Four et Mi, se sont retrouvées un jour exilées sur une planète cubique, d'une superficie totale de \(600 \mathrm{~m}^{2}\).
Partie A
Four a établi sa maison au pôle Nord ( N ) et Mi au pôle Sud ( S ), et, pour faciliter leurs échanges, elles souhaitent construire une route reliant leurs demeures respectives.Elles cherchent à construire la route la plus courte possible, en se limitant à des routes composées de segments de droites, reliant différents points à la surface de leur planète. Afin de faciliter leur réflexion, Four et Mi ont réalisé un patron de leur planète, donné ci-dessous.
Sur ce patron, les points désignés par une même lettre, avec ou sans indice, représentent un même sommet du cube.
Préliminaire : \(a\) désignant la longueur d'un côté du cube, la superficie totale du cube est \(6 a^{2}\). Or on indique que sa valeur est \(600 \mathrm{~m}^{2}\), donc \(a^{2}=100\). Les côtés du cube mesurent donc 10 m . Partie A
Four a établi sa maison au pôle Nord ( N ) et Mi au pôle Sud ( S ), et, pour faciliter leurs échanges, elles souhaitent construire une route reliant leurs demeures respectives.
Elles cherchent à construire la route la plus courte possible, en se limitant à des routes composées de segments de droites, reliant différents points à la surface de leur planète. Afin de faciliter leur réflexion, Four et Mi ont réalisé un patron de leur planète, donné ci-dessous.
Sur ce patron, les points désignés par une même lettre, avec ou sans indice, représentent un même sommet du cube.
1. Examen de quelques possibilités
a) La route NAFS correspond sur le patron à la ligne brisée \(\mathrm{NAF}_{1} \mathrm{~S}_{1}\), la longueur des côtés étant de 10 m , sa longueur est égale à \(3 \times 10=30 \mathrm{~m}\).[0pt] La route NAS correspond sur le patron aux lignes brisée NAS ou NAC 1 , où [AS] est la diagonale d'un carré de côté 10 , donc (par application du théorème de Pythagore) \(A S=\sqrt{10^{2}+10^{2}}=10 \sqrt{2} \mathrm{~m}\).
Le calcul de la longueur de la route \(\mathrm{NAS}={ }_{1}\) donne bien sûr le même résultat.
b) La route NA'S correspond sur le patron à la ligne brisée NA' \(\mathrm{S}_{1}\), où A' est le milieu de l'arête \([\mathrm{AB}]\), mais aussi, sur le patron, le milieu de la diagonale [ \(\mathrm{NS}=1\) ] du rectangle \(\mathrm{NCF}_{1} \mathrm{~S}_{1}\).
Par application du théorème de Pythagore dans le triangle \(\mathrm{NF}_{1} \mathrm{~S}_{1}\), la longueur de la route Na ' S est
\[ N S_{1}=\sqrt{10^{2}+20^{2}}=\sqrt{500}=10 \sqrt{5} \mathrm{~m} . \]
2. Recherche d'un minimum
a) En comparant les carrés, \(900 ; 200 ; 100\), la route la plus courte est la route NA'S.b) Sur un patron du cube, les points représentants les pôles Nord et Sud ne peuvent se situer sur un même carré, et pas plus près que sur deux carrés contigus. Donc les représentants des pôles Nord et Sud ne peuvent pas être plus près que les sommets d'un rectangle correspondant à la juxtaposition de deux faces du cube, éloignés de \(10 \sqrt{5} \mathrm{~m}\) (diagonales du rectangle) ou de 20 m (grand côté du rectangle). Comme il n'est pas possible de rejoindre les pôles Nord et Sud en suivant deux arêtes, la distance minimale est bien \(10 \sqrt{5} \mathrm{~m}\).
[0pt] c) En examinant sur des patrons toutes les juxtapositions de deux faces où on trouve un représentant du pôle Nord et un représentant du pôle Sud, on obtient six routes les plus courtes, NA'S, NB'S, NC'S, ND'S, NE'S et NF'S où A', B', C', D' et F' sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BC], [CD], [DE], [EF] et [FA].
Partie B
Four et Mi se lancent dans l'agriculture. Elles souhaitent se partager équitablement la terre, chacune ayant en charge la culture d'un domaine qui s'étendra d'un pôle à ce qu'elles ont appelé l' «équateur». Cet «équateur» est l'ensemble des points équidistants des deux pôles.1. Recherche de points équidistants des pôles
Sur le patron ci-dessous, les points \(\mathrm{A}^{\prime}\) et \(\mathrm{B}^{\prime}\) sont respectivement les milieux des arêtes \([\mathrm{AB}]\) et \([\mathrm{BC}]\). Le point G est le milieu du segment [ \(\mathrm{BB}^{\prime}\) ].Le point \(\mathrm{B}^{\prime \prime}\) est le point d'intersection des segments [A'G] et [NB].
a) Les points \(\mathrm{A}^{\prime}\) et \(\mathrm{B}^{\prime}\) sont équidistants des deux pôles, car ce sont sur le patron les milieux de routes rectilignes joignant des représentants des deux pôles.
Pour les questions suivantes, il est sous-entendu que la distance \(d\) ?un point aux deux pôles est la distance la plus courte sur un patron quelconque entre ce point et chacun des deux pôles. On choisit donc à chaque fois le plus petit segment joignant sur un patron le point considéré et un représentant du pôle considéré.
b) A l'aide du patron fourni, la distance du pôle G au pôle Nord est la distance \(G S\), correspondant à l'hypoténuse du triangle NGC rectangle en C, et égale à
\[ \sqrt{N C^{2}+C G^{2}}=\sqrt{N C^{2}+\left(\frac{3}{4} C B\right)^{2}}=10 \sqrt{1+\frac{9}{4}}=5 \sqrt{13} . \]
A l'aide du patron fourni, la distance du pôle G au pôle Sud est la distance \(G S\) (plus courte que \(G S_{1}\) ), correspondant à l'hypoténuse du triangle GBS rectangle en B , et égale à
\[ \sqrt{G B^{2}+B S^{2}}=\sqrt{\left(\frac{1}{4} C B\right)^{2}+B S^{2}}=10 \sqrt{\frac{1}{4}+1}=5 \sqrt{5} . \]
Il apparaît que point G n'est pas équidistant des deux pôles.
c) Solution analytique :
En utilisant sur le patron fourni le repère orthonormé ( \(\mathrm{A} ; \mathrm{B} ; \mathrm{N}\) ), les coordonnées des points \(\mathrm{A}^{\prime}\) et G sont
respectivement \(\left(\frac{1}{2} ; 0\right)\) et \(\left(1 ; \frac{1}{4}\right)\), et les équations des droites \(\left(A^{\prime} G\right)\) et \((N B)\) sont respectivement :
\[ \left(A^{\prime} G\right): y=\frac{y_{G}-y_{A^{\prime}}}{x_{G}-x_{A^{\prime}}}\left(x-x_{A^{\prime}}\right)+y_{A^{\prime}} \text { et }(N B): y=\frac{y_{N}-y_{B}}{x_{N}-x_{B}}\left(x-x_{N}\right)+y_{N} . \]
Après substitution :
\[ \begin{gathered} \left(A^{\prime} G\right): y=\frac{\frac{1}{4}-0}{1-\frac{1}{2}}\left(x-\frac{1}{2}\right)+0 \text { soit } y=\frac{1}{4} \times 2\left(x-\frac{1}{2}\right), \text { et enfin } y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} . \\ (N B): y=\frac{1}{0-1}(x-0)+1 \text { soit } y=-x+1 \end{gathered} \]
On obtient les coordonnées du point \(\mathrm{B}^{\prime \prime}\) en résolvant le système :
\(\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \\ y= \\ y=x+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{ccc}2 y & = & x-\frac{1}{2} \\ y & = & -x+1\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{ccc}L_{1} \leftarrow L_{1}+L_{2} & L_{2}\end{array}\left\{\begin{array}{rlc}3 y & = & \frac{1}{2} \\ y & = & -x+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llc}y & = & \frac{1}{6} \\ x & = & -y+1\end{array}\right.\right.\right.\right.\)
Les coordonnées de \(\mathrm{B}^{\prime \prime}\) sont donc \(\left(\frac{5}{6} ; \frac{1}{6}\right)\).
On en déduit les longueurs \(N B\) " et \(B\) " \(S\) :
\[ \begin{gathered} N B "=\sqrt{\left(\frac{5}{6}-0\right)^{2}+\left(\frac{1}{6}-1\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}+\frac{25}{36}}=\frac{\sqrt{50}}{6}=\frac{5}{6} \sqrt{2} \\ B " S=\sqrt{\left(2-\frac{5}{6}\right)^{2}+\left(0-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{7}{6}\right)^{2}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}+\frac{1}{36}}=\frac{\sqrt{50}}{6}=\frac{5}{6} \sqrt{2} . \end{gathered} \]
Les valeurs sont les mêmes si l'on considère la distance \(B\) " \(S_{1}\) au lieu de la distance \(B\) " \(S\).
Le point \(\mathrm{B}^{\prime \prime}\) est donc équidistant des deux pôles.
Solution géométrique :
Les triangles NA'A et A'GB sont homothétiques dans le rapport \(\frac{1}{2}\), donc les angles \(\widehat{A A^{\prime} N}\) et \(\widehat{B A^{\prime} G}\) sont complémentaires, et par suite l'angle ( \(G A^{\prime} N\) ) mesure \(90^{\circ}\).On en déduit que la droite ( \(A^{\prime} G\) ) est la médiatrice du segment [ \(\mathrm{NS}_{1}\) ], et par conséquent le point \(\mathrm{B}^{\prime \prime}\), situé sur \(\left(A^{\prime} G\right)\) est équidistant des points N et \(\mathrm{S}_{1}\).
Les points \(\mathrm{A}^{\prime}\) et \(\mathrm{B}^{\prime}\) étant symétriques par rapport à la droite \((N B)\), de même pour les points S et \(\mathrm{S}_{1} 1\), et le point B " étant sur la droite ( \(N B\) ), la droite ( \(B^{\prime} B^{\prime \prime}\) ) est la médiatrice du segment [NS], et on en déduit que le point \(\mathrm{B}^{\prime \prime}\) est aussi équidistant des points N et S .
Le point \(\mathrm{B}^{\prime \prime}\) est donc équidistant des deux pôles, que 1 ?on considère le représentant S ou le représentant \(\mathrm{S}_{1} 1\) du pôle Sud.
2. Tracé de l'équateur
a) Déterminer l'ensemble des points équidistants des deux pôles de la planète.Sur le patron proposé, pour la face NABC, les points équidistants des deux pôles sont les points situés sur la médiatrice ( \(A^{\prime} B^{\prime \prime}\) ) du segment [ NS ] ou sur la médiatrice du segment [ \(\mathrm{NS}_{1}\) ], et parmi cet ensemble de points, équidistants de N et de S ou équidistants de N et de \(\mathrm{S}_{1}\), il faut choisir ceux qui sont les plus proches du pôle Nord, c'est-à-dire les points des segments [ \(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime \prime}\) ] et [ \(\mathrm{B}^{\prime \prime} \mathrm{B}^{\prime}\) ].
