Sujet
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On considère la suite ( \(E_{n}\) ) définie par :
\(E_{1}=(1 ; 1)\) et, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2, E_{n}\) est la liste des nombres entiers naturels obtenue en intercalant entre deux nombres consécutifs de la liste \(E(n-1)\) la somme de ces deux nombres.
On obtient ainsi les listes \(E_{2}=(1 ; 2 ; 1)\) et \(E_{3}=(1 ; 3 ; 2 ; 3 ; 1)\).
La liste \(E_{2}\) contient trois éléments et la liste \(E_{3}\) contient cinq éléments.
- Déterminer les listes \(E_{4}\) et \(E_{5}\).
- A la onzième étape
a) Combien d'éléments contient la liste \(E_{11}\) ?
b) Quelle est la somme des éléments de la liste \(E_{11}\) ?
b) Quel est le plus grand élément de la liste \(E_{11}\) ? - A la \(\boldsymbol{n}^{\text {ème }}\) étape
On note \(N_{n}\) le nombre d'éléments de la liste \(E_{n}\).
On pose \(v_{n}=N_{n-1}\).
a) Étudier la suite \(\left(v_{n}\right)\) et en déduire \(N_{n}\) en fonction de \(n\).
b) Quelle est la somme des éléments de la liste \(E_{n}\). ?
1.
\[ \begin{aligned} & E_{4}=(1,4,3,5,2,5,3,4,1) \\ & E_{5}=(1,5,4,7,3,8,5,7,2,7,5,8,3,7,4,5,1) . . \end{aligned} \]
- A la onzième étape
a) On note \(N_{10}\) le nombre d'éléments de la liste \(E_{10}\).
Il y a autant de \(\star\) que de il y en a \(N_{10}-1\) ).
À l'étape 11, il y a donc \(N_{11}=2\left(N_{10}-1\right)+1\)
éléments, soit \(N_{11}-1=2\left(N_{10}-1\right)\).
Par itération \(N_{11}-1=2^{10}\left(N_{1}-1\right)\).
On a donc \(N_{11}=2^{10}+1=1025\) éléments.
b) On note \(S_{10}\) le nombre d'éléments de la liste à l'étape
10.
Chaque est la somme de deux nombres consécutifs de la liste précédente. Dans la somme des il y a
deux fois la somme des \(\star\) plus 2 ou encore \(2 S_{10}-2\).
Donc
\(S_{11}=2 S_{10}-2+S_{10}=3 S_{10}-2=3\left(S_{10}-1\right)+1\), soit
\(S_{11}-1=3\left(S_{10}-1\right)\).
Par itération, \(S_{11}-1=3^{10}\left(S_{1}-1\right)\).
On a donc \(S 11=3^{10}+1=59050\).
c) \(\boldsymbol{E}_{1}=(\mathbf{1}, \mathbf{1})\).
\(\boldsymbol{E}_{2}=(1,2,1)\).
\(\boldsymbol{E}_{3}=(\underline{1}, \mathbf{3}, \underline{2}, 3,1)\).
\(\boldsymbol{E}_{4}=(1,4, \underline{3}, \mathbf{5}, \underline{2}, 5,3,4,1)\).
\(\boldsymbol{E}_{5}=(1,5,4,7, \underline{3}, 8, \underline{5}, 7,2,7,5,8,3,7,4,5,1)\).
\(\boldsymbol{E}_{6}=(1,6,5,9,4,11,7,10,3,11, \underline{8}, \mathbf{1 3}, \underline{5}, 12,7,9,2, \ldots)\)
On remarque que le maximum \(M_{n+1}\) de la liste à l'étape \(n+1\) est entre le maximum \(M_{n}\) de la liste à
l'étape \(n\) et le maximum \(M_{n-1}\) de la liste à l'étape \(n-1\).
On a la relation \(M_{n+1}=M_{n}+M_{n-1}\) avec \(M_{1}=1\) et \(M_{2}=2\).
Donc \(M_{3}=3, M_{4}=5, M_{5}=8, M_{6}=13, M_{7}=21, M_{8}=34, M_{9}=55, M_{10}=89\) et \(M_{11}=144\).
3. A la \(\boldsymbol{n
^{\text {ème }}\) étape} On note \(N_{n}\) le nombre d'éléments de la liste \(E_{n}\).On pose \(v_{n}=N_{n-1}\).
a) On note \(N_{n}\) le nombre d'éléments à l'étape \(n\).
Il y a autant de \(\star\) que de ⊗ (il y en a \(v_{n}=N_{n}-1\) ).
À l'étape \(n+1\), il y a donc \(N_{n+1}=2\left(N_{n}-1\right)+1\)
éléments, soit \(v_{n+1}=2 v_{n}\).
La suite \(\left(v_{n}\right)\) est géométrique de raison 2 et de premier terme \(v_{1}=1\) donc \(v_{n}=2^{n-1}\).
b) On note \(S_{n}\) le nombre d'éléments de la liste à l'étape \(n\)
Chaque est la somme de deux nombres consécutifs de la liste précédente. Dans la somme des il y a deux fois la somme des \(\star\) plus 2 ou encore \(2 S_{n}-2\). Donc
\(S_{n+1}=2 S_{n}-2+S_{n}=3 S_{n}-2=3\left(S_{n}-1\right)+1\), soit \(S_{n+1}-1=3\left(S_{n}-1\right)\).
La suite ( \(S_{n}-1\) ) est géométrique de raison 3 et de premier terme \(S_{1}-1=1\) donc \(S_{n}=3^{n-1}+1\).