Sujet
Le plan est muni d ?un repère orthonormé ( \(O ; \vec{i} ; \vec{j}\) ).
Soit C un point du plan. On appelle droite tropicale de point central C la réunion des trois demi-droites d'origine C et dirigées respectivement par les vecteurs directeurs \(-\vec{i},-\vec{j}\) et \(\vec{i}+\vec{j}\).
On remarquera qu'une droite tropicale est déterminée de manière unique par la position de son point central.
On dit qu'une droite tropicale passe par un point lorsque ce point est situé sur l'une des trois demi-droites qui constituent la droite tropicale.
Par exemple, on a représenté ci-dessous la droite tropicale de point central \(\mathrm{C}(1 ; 2)\) passant par le point \(\mathrm{A}(-2 ; 2)\) :
Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des droites tropicales \({ }^{4}\). Dans cet exercice, le mot «droite» sans aucun adjectif qualificatif fait référence aux droites rencontrées en géométrie usuelle dite euclidienne \({ }^{5}\). On dit que deux points du plan sont dépendants s'ils appartiennent à une même droite de direction \(\vec{i}\), de direction \(\vec{j}\) ou de direction \(\vec{i}+\vec{j}\). Les deux points sont dits indépendants dans le cas contraire.
- a) Tracer dans un même repère les droites tropicales suivantes et en préciser le point central.
- une droite tropicale \(T_{1}\) passant par les points \(\mathrm{A}_{1}(-2 ; 3)\) et \(\mathrm{B}_{1}(0 ; 5)\);
- une droite tropicale \(T_{2}\) passant par les points \(\mathrm{A}_{2}(1 ; 1)\) et \(\mathrm{B}_{2}(3 ; 4)\);
- une droite tropicale \(T_{3}\) passant par les points \(\mathrm{A}_{3}(2 ; 1)\) et \(\mathrm{B}_{3}(5 ; 2)\);
- une droite tropicale \(T_{4}\) passant par les points \(\mathrm{A}_{4}(2 ;-1)\) et \(\mathrm{B}_{4}(6 ;-4)\).
b) Démontrer la propriété «Par deux points quelconques du plan passe une droite tropicale».
c) La propriété «Par deux points quelconques dépendants et non confondus du plan passe une et une seule droite tropicale » est-elle vraie ?
Le qualificatif ń tropicale ż a été donné en l'honneur de l'informaticien brésilien Imre Simon (1943-2009). Euclide dans son livre «Les Éléments» ( 300 av . J-C.) énonce trois propriétés sur les droites :
-
par deux points quelconques du plan passe une droite ;
par deux points quelconques et non confondus du plan passe une et une seule droite ;
deux droites non parallèles se coupent toujours en un unique point.
- a) Tracer dans un même repère les droites tropicales suivantes et en préciser le point central.
- droite tropicale \(T_{1}\) passant par les points \(\mathrm{A}_{1}(-2 ; 3)\) et \(\mathrm{B}_{1}(0 ; 5)\);
- droite tropicale \(T_{2}\) passant par les points \(\mathrm{A}_{2}(1 ; 1)\) et \(\mathrm{B}_{2}(3 ; 4)\);
- droite tropicale \(T_{3}\) passant par les points \(\mathrm{A}_{3}(2 ; 1)\) et \(\mathrm{B}_{3}(5 ; 2)\);
- droite tropicale \(T_{4}\) passant par les points \(\mathrm{A}_{4}(2 ;-1)\) et \(\mathrm{B}_{4}(6 ;-4)\).
b) Soient deux points \(A\) et \(B\) quelconques du plan. On se place dans le repère orthonormé direct d'origine \(A\). On discute alors selon les coordonnées de \(B=(x ; y)\) dans ce repère. Quitte à permuter les points \(A\) et \(B\), on peut supposer que \(x \geqslant 0\). On a alors selon les cas : - si \(y \geqslant 0, y \geqslant x\), la droite tropicale de centre \((0 ; y-x)\) convient,
- si \(y \geqslant 0 ; x \geqslant y\), la droite tropicale de centre \((x-y ; 0)\) convient,
- si \(y \leqslant 0\), la droite tropicale de centre \((x ; 0)\) convient.
c) La propriété n'est pas vraie lorsque les points ne sont pas indépendants. Par exemples pour \(A=(0 ; 0)\) et \(B=(1 ; 0)\), la droite tropicale de point central \(B\) passe bien par \(A\) et \(B\), mais ce n'est pas la seule : c'est également le cas pour toutes les droites tropicales de point central ( \(x ; 0\) ) avec \(x\) un réel supérieur à 1 .
d) Soient deux points \(A\) et \(B\) indépendants du plan. On se place dans le repère orthonormé direct d' origine \(A\). Soit \((x ; y)\) les coordonnées de \(B\) dans ce repère. Quitte à permuter les points \(A\) et \(B\), on peut supposer que \(x \geqslant 0\). Puisque \(A\) et \(B\) sont indépendants, l'abscisse de \(B\) ne peut être nulle, son ordonnée non plus et l'abscisse de \(B\) ne peut être égale à son ordonnée. Il n'y a donc que trois cas possibles :
\[ (\text { i }) y>0, y>x, \quad(\text { ii }) y>0, x>y, \quad \text { (iii) } y<0 . \]
Considérons une droite tropicale passant par \(A\) et \(B\). On discute du cas \(y>0 ; y>x\) (les autres cas se traitent de la même manière) : \(A\) ne peut être sur les demi-droites de directions \(\vec{i}+\vec{j}\) et \(-\vec{i}\). De