Sujet
Aout 2015 : Une équipe de mathématiciens a bouleversé le monde des maths en découvrant un nouveau type de pentagone capable de «paver un plan», c'est-à-dire que les pièces peuvent s'assembler sur une surface plane sans qu'elles ne se chevauchent ni ne laissent de trous.
On considère pour notre part les surfaces \(\mathrm{T}_{2}, \mathrm{~T}_{3}\) et \(\mathrm{T}_{4}\) suivantes :
Plus généralement, pour tout entier \(n: 2 \geqslant 2\), on considère la surface \(\mathrm{T}_{n}\) constituée de \(1+2+\cdots+n\) carreaux formant un triangle «crénelé».
La surface \(\mathrm{T}_{n}\) est dite pavable si on peut la recouvrir entièrement par des pièces, sans qu'elles ne se chevauchent ou ne dépassent de la surface.
On s'intéresse ici au pavage de \(\mathrm{T}_{n}\) par deux types de pièces \(\mathbf{L}\) et anti- \(\mathbf{L}\) définies ci-dessous.
- Les surfaces \(\mathrm{T}_{2}, \mathrm{~T}_{3}, \mathrm{~T}_{4}\) sont-elles pavables? Justifier vos réponses.
- a) Montrer que \(\mathrm{T}_{9}\) est pavable.
- La surface \(T_{2}\) est évidemment pavable puisqu'elle correspond à la pièce L .
La surface \(T_{3}\) n'est pas pavable. En effet, il faut nécessairement couvrir le carreau du haut par la pièce \(L\), on fait alors apparaître une ligne de 3 carreaux non pavable.
La surface \(T_{4}\) n'est pas non plus pavable. En effet, cette surface recouvre 10 carreau; or les pièces ont une surface de 3 carreaux chacune et ne pourront couvrir que des surfaces dont le nombre de carreaux est un multiple de 3 .
2. a) On montre que \(T_{9}\) est pavable en donnant un exemple de pavage.
b) \(T_{9}\) étant pavable, on peut paver \(T 812\) en isolant \(T_{9}\) pour le paver comme ci-dessus et en pavant à gauche une colonne à l'aide de blocs constitués d'un \(L\) et anti- \(L\) imbriqué, terminé par un \(L\) (illustration cidessous).