Sujet
Joseph Bertrand est un mathématicien français du XIX siècle. Il a énoncé un paradoxe en 1889 qui a mis en évidence les limites du recours à l'intuition dans la théorie des probabilités.
Partie 1 : un peu de géométrie
On rappelle que si A et B sont deux points distincts d'un cercle, le segment \([\mathrm{AB}]\) est appelé une corde.- Tracer un cercle \(\mathscr{C}_{1}\) de centre O et de rayon 4 cm et placer un point A sur ce cercle.
- Tracer à la règle et au compas le triangle équilatéral inscrit dans le cercle dont A est un sommet (On laissera apparent les traits de construction). Nommer H et E les 2 autres sommets.
- Prouver que le côté de ce triangle mesure \(4 \sqrt{3}\).
- Tracer le cercle \(\mathscr{C}_{2}\) inscrit dans ce triangle et prouver que son rayon est 2 cm .
- Prouver qu'un point I placé à l'intérieur du cercle \(\mathscr{C}_{1}\) définit une unique corde de ce cercle dont I est le milieu, à l'exception d'un point particulier que l'on précisera.
Partie 2 : le paradoxe de Bertrand
Dans cette partie, on cherche à déterminer la probabilité qu'une corde choisie au hasard sur le cercle \(\mathscr{C}_{1}\) ait une longueur supérieure au côté du triangle équilatéral AHE. Pour cela, on envisage les deux modélisations suivantes :- Modèle 1 : on choisit au hasard sur le cercle \(\mathscr{C}_{1}\) un point B distinct de A .
a) Déterminer la probabilité que la corde \([\mathrm{AB}]\) soit plus longue que \([\mathrm{AH}]\).
b) Quelle est la probabilité que le milieu de la corde \([\mathrm{AB}]\) soit situé à l'intérieur du cercle \(\mathscr{C}_{2}\) ? - Modèle 2 : on choisit au hasard un point I à l'intérieur du cercle \(\mathscr{C}_{1}\).
a) Quelle est la probabilité que la corde de milieu I soit plus longue que \([\mathrm{AH}]\) ?
b) Quelle est la probabilité que le point I soit situé à l'intérieur du cercle \(\mathscr{C}_{2}\) ? - Quels commentaires vous inspirent ces résultats ?
- Ces 2 figures montrent des tirages aléatoires d'environ 500 cordes suivant l'un des 2 modèles (pour le modèle 1 , le point A est lui-même choisi aléatoirement sur le cercle \(\mathscr{C}_{1}\) ).
figure A
figure B
Laquelle de ces deux figures correspond au modèle 2 ? (justifiez votre réponse)
Partie 1 : un peu de géométrie
- et 2 . Construction
- Pour calculer \(A H\), on peut placer D le milieu de \([\mathrm{AH}]\), (OD) est la médiatrice de \([\mathrm{AH}]\), donc ADO est rectangle en D
On peut justifier que \(\widehat{A O D}=60^{\circ}\), puis \(A D=A O \times \sin \left(60^{\circ}\right)=2 \sqrt{3}\) et enfin \(A H=2 A D=4 \sqrt{3}\).
Il est important de valoriser toute tentative de preuve invoquant les propriétés du triangle équilatéral et mettant en œuvre le théorème de Pythagore dans un triangle bien choisi. - L'angle \(\widehat{A O D}\) mesure \(60^{\circ}\) donc \(O D=\frac{1}{2} O A\).
\(O D\) est le rayon du cercle \(\mathscr{C}_{2}\) qui mesure donc 2 cm . - Si I est un point à l'intérieur du cercle \(\mathscr{C}_{1}\), toute droite passant par I coupe ce cercle en deux points M et N . On veut que I soit le milieu de [MN] donc \(I M=I N\). Par ailleurs, M et N appartenant au cercle, on a \(O M=O N\).
Si I est distinct de \(\mathbf{O}\), alors la droite (IO) est la médiatrice de \([\mathrm{MN}]\). La corde dont I est le milieu est obtenue en traçant la droite perpendiculaire à (IO) en I.
Par symétrie d'axe (OI) de la figure, on vérifie que cette corde convient et ainsi, I, distinct de O définit bien une unique corde dont il est le milieu.
Si \(\mathbf{I}=\mathbf{O}\) alors toute corde passant par O est un diamètre du cercle. Il n'y a pas unicité.
Cette preuve est un point délicat. S'il apparait intuitivement qu'on obtient la corde choisie en traçant la