Sujet
On considère une bande de papier de longueur 16 cm dont le bord inférieur est colorié.
Le but de cet exercice est de trouver la forme de cette bande de papier après des pliages successifs.
Première étape
La bande de papier est pliée en deux en rabattant le bord situé à droite sur le bord situé à gauche.
Deuxième étape
On recommence l'opération sur le pliage précédent. On déplie ensuite la bande de papier de telle sorte que chaque pli se transforme en un angle droit. En posant ce pliage sur une table, côté rouge vers la table, on obtient la figure suivante :On dispose la ligne brisée OABCD , formée de segments d'égale longueur, dans un repère orthonormé d'unité graphique 4 cm , de manière à ce que le point A ait pour coordonnées \((0 ; 1)\).
Cette figure géométrique est codée \((d, d, g)\) pour « droite, droite, gauche » qui correspond au parcours en partant du point O :
«Aller de \(O\) à \(A\), tourner de \(90^{\circ}\) à droite pour aller à \(B\), tourner de \(90^{\circ}\) à droite pour aller à \(C\), tourner de \(90^{\circ}\) à gauche pour aller à \(D\) ».
On notera ligne \(_{2}=\mathrm{OABCD}\) et pliage \(_{2}=(\mathrm{d}, \mathrm{d}, \mathrm{g})\).
Cette construction est répétée par pliages successifs. Dans la suite les lignes brisées seront représentées dans le
- a) Pliage \(_{3}=(\mathrm{d}, \mathrm{d}, \mathrm{g}, \mathrm{d}, \mathrm{d}, \mathrm{g}, \mathrm{g})\).
b) H a pour coordonnées \((1 ;-1)\).
- a) Pliage \(_{4}=(\mathrm{d}, \mathrm{d}, \mathrm{g}, \mathrm{d}, \mathrm{d}, \mathrm{g}, \mathrm{g}, \mathrm{d}, \mathrm{d}, \mathrm{d}, \mathrm{g}, \mathrm{g}, \mathrm{d}, \mathrm{g}, \mathrm{g})\).
b) P a pour coordonnées \((0 ;-1)\).
c) Le codage Pliage \(_{4}\) débute comme le codage Pliage \(_{3}\) : d,d,g,d,d,g,g on parvient ainsi au point H . En ce point on tourne à droite pour entamer la deuxième partie du pliage. Cette deuxième partie est obtenue par «inversion» du codage Pliage 3 : d,d,g, d,d, g,g devient d,d , g,g , d,g,g. On obtient ainsi :
\[ \text { Pliage }_{4}=(\mathrm{d}, \mathrm{~d}, \mathrm{~g}, \mathrm{~d}, \mathrm{~d}, \mathrm{~g}, \mathrm{~g}, \mathrm{~d}, \mathrm{~d}, \mathrm{~d}, \mathrm{~g}, \mathrm{~g}, \mathrm{~d}, \mathrm{~g}, \mathrm{~g}) \]
d) Dans un premier temps on remarque que le point H de Ligne \(_{4}\) a pour coordonnées \((0,5 ;-0,5)\) qui sont obtenues par division par 2 des coordonnées de l'extrémité de \(\mathrm{Ligne}_{3}\). On effectue une rotation de centre \(H\) et d'angle droit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre pour obtenir le point P . La deuxième partie de la ligne brisée est obtenue à partir de la première partie issue de Ligne \({ }_{3}\) par cette rotation. Par des considérations géométriques (triangle OHP rectangle et isocèle en H ) on obtient les coordonnées du point P .
3. Pour trouver l'extrémité de \(\operatorname{Ligne}_{5}\) on utilise la même méthode en déterminant l'image du point O par la rotation de centre P de coordonnées \((0 ;-0,5)\) et d'angle droit dans le sens inverse des aiguilles d'une